Étude de Certains Problèmes aux Limites avec des Dérivées Fractionnaires Généralisées

Abstract

In this thesis, we present some results to contribute to the development of the theory of the existence, uniqueness, and stability of solutions of certain classes of nonlinear fractional ordinary versions of differential equations such as the Langevin equation, generalized Sturm-Liouville-Langevin (GSLL for short) equation, and hybrid versions of the GSLL equation. Each of these equations involving fractional operators is more generalized and supports our results to be more extensive and cover several new existence and uniqueness problems in the literature, as -Riemann-Liouville, -Caputo and -Hilfer operators, with different boundary conditions in Banach spaces. Due to the various possible applications of these equations to model real-world problems, we introduced a study of them. The results obtained in this work are based on the fixed point theorems: Banach’s contraction principle, Krasnoselski, the technique of Nonlinear alternative of Leray-shauder, the technique of - -contraction via admissible mapping in fixed point theorem. We also establish Ulam-Hyers (UH), generalized Ulam-Hyers (GUH), Ulam-Hyers-Rassias (UHR), and generalized Ulam-Hyers-Rassias (GUHR) stability results for some processed problems. We have also provided illustrative examples for some of our problems to show the effectiveness of our achieved results

Dans cette thèse, nous présentons quelques résultats pour contribuer au développement de la théorie de l’existence, de l’unicité et de la stabilité des solutions de certaines classes de versions ordinaires fractionnaires non linéaires d’équations différentielles, exemple l’équation de Langevin, l’équation de Sturm-Liouville-Langevin généralisée (ESLLG) et des versions hybrides de l’équation ESLLG. Chacune de ces équations Inclut des opérateurs fractionnaires est plus généralisée et permet à nos résultats d’être plus étendus et de couvrir plusieurs nouveaux problèmes d’existence et d’unicité dans la littérature, C’est comme suit opérateurs -Riemann-Liouville, -Caputo et -Hilfer, avec des conditions au bord différentes dans les espaces de Banach. En raison des diverses applications possibles de ces équations pour modéliser des problèmes du monde réel, nous avons introduit leur étude. Les résultats obtenus dans ce travail sont basés sur les théorèmes du point fixe : le principe de contraction de Banach, Krasnoselski, la technique d’alternative non-linéaire de Leraysauder, la technique de - -contraction via une application admissible en théorèmes du point fixe. Nous établissons également des résultats de stabilité Ulam-Hyers (UH), Ulam- Hyers généralisé (UHG), Ulam-Hyers-Rassias (UHR) et Ulam-Hyers-Rassias généralisé (GUHR) pour certains problèmes abordés. Nous avons également fourni des exemples illustrant certains de nos problèmes pour montrer l’efficacité de nos résultats obtenus.

نقدم في هذه الأطروحة بعض النتائج للمساهمة في تطوير نظرية الوجود والوحدانية واستقرار الحلول لفات محددة من الإصدارات غير الخطية الكسرية العادية للمعادلات التفاضلية، مثال معادلة لنجفن ومعادلة ستام ليوفل لنجفن المعممة وإصدارين هجينين لها.كل من هذه المعادلات تتضمن مشتقات كسرية أكثر عمومية وتدعم نتائجنا لتكون أكثر شمولًا وتغطي العديد من مسائل الوجود والوحدانية الجديدة في الأدبيات، مثل مشتق ريمان ليوفل ومشتق كابوتو ومشتف هيلف، مع شروط حدودية متنوعة في فضاءات بناخ. ونظرًا للطبيقات المتنوعة لهذه المعادلات لنمذجة مشاكل من الواقع فقد قدمنا دراسة لها. تعتمد النتائج التي حصلنا عليها في العمل على بعض نظريات النقطة الصامدة أولها مبدأ التقلص لبناخ ونظرية كراسنوسلسكي ثم تقنية البديل غير الخطي للروي شاودر وأخير تقنية التقلص عبر التطبيقات المقبولة ضمن نظرية النقطة الصامدة. كما قمنا أيضًا بدارسة الاستقرار بدايتا مع يولام هايز وتعميمها ثم مع يولام هايرز راسيس وتعميمها لكل من المشكلات المدروسة، وقدمنا أمثلة توضيحية توضح مدى فاعِلية المسائل التي عالجناها، وفي الأخير تم مناقشة كيف أن المسائل التي قدمنا دراسة لها تعمم العديد من المسائل وتجمعها في دراسة واحدة وقدمنالعملنا خاتمة