Étude de la stabilité des solutions d’un système d’équations différentielles à coefficients périodiques

Abstract

تتكون هذه املذكرة من ثالثة فصول، والهدف مهنا هو دراسة اس تقرار احللول ادلورية للجمةل املعادالت التفاضلية اخلطية ذات املعامالت ادلورية . الفصل ا ألول: ذكران بعض املفاهمي اليت حنتاهجا يف احلل. الفصل الثاين: خصص العطاء نظرة عامة حول مفهوم اس تقرار احلل املعدوم للمعادالت التفاضلية و مجةل املعادالت التفاضلية. الفصل الثالث: تناولنا دراسة اس تقرار احللول يف ثالث حاالت: احلاةل ا ألوىل: يف حاةل مجةل املعادالت التفاضلية اخلطية, حبث اس تعملنا حمدد مصفوفة هرويزت ملعرفة اس تقرار احلل املعدوم يف حاةل صعب علينا حتديد القمي اذلاتية لكثري احلدود اخلاصة مبصفوفة امجلةل التفاضلية؛ احلاةل الثانية: يف حاةل مجةل املعادالت التفاضلية الغري اخلطية, احلل املعدوم يكون مس تقر اذا أأمكننا اجياد داةل تسمى داةل ليابونوف و يه ادلاةل اليت تتوفر فهيا املواصفات التالية )معرفة موجبة, أأي أأن ادلاةل ال تكون صفرا اال عند النقطة صفر مترة( , ؛ احلاةل الثالثة: ويه حمور املوضوع, خاصة ابس تقرار احللول ادلورية اذلي هو مرتبط بطويةل القمي اذلاتية للمصفوفة مونودرويم مس ان تكون لكها اقل متاما من الواحد. The aim of this work is to study the stability of the periodic solutions for differential equation systems with periodic coefficients. This master thesis is presented in the following way: Chapter I: We give here the concepts and the necessary results necessary for the resolution of the problem. Chapter II: Devoted to the notion of stability of the zero solution of differential equations and systems of differential equations. Chapter III: We studied the stability of the solutions in three cases: the first case: systems of linear differential equations, where we used the determinant of the Hurwitz matrix to study the stability in the case where the determination of the eigenvalues of the matrix of the differential system is difficult; the second case: systems of nonlinear differential equations, the null solution is stable if it is possible to find a function, called Lyapunov function. This function has the following important properties: it is continuous and definite positive, so that it is zero only at zero); third case: This is the central theme of this master thesis. It is devoted to the stability of periodic solutions, which is linked to the modules of the eigenvalue of the monodromy matrix. These modules must all be strictly less than one