Systèmes hamiltoniens intégrables

Abstract

Un système hamiltonien est la donnée d’un triplet (M,w,H), où (M,w) est une variété symplectique (de dimension 2n) et H est une fonction lisse sur M. Le système est dit intégrable s’il existe un n-uplet F = (f1, f2 ,…, fn) d’intégrales premières en involution dont les différentiellessont génériquement indépendantes. Le Théorème d’Arnold-Liouville affirme que si l’application moment F est propre et régulièrealors ses fibres sont des tores (une fibration lagrangienne) et il existe des coordonnées action-anglequi linéarisent le système hamiltonien. Nous nous intéressons à la construction de fibrations lagrangiennes associées aux systèmes intégrables et aux idées qui sont derrière le Théorème d’Arnold-Liouville et sa démonstration.

An hamiltonian system is the given of a triple (M, ω, H), where (M, ω) is a symplectic manifold (of dimension 2n) and H is a smooth function on M . The system is said to be integrable if there exists a n-uplet F = (f1, f2, ..., fn) of first integrals in involution whose differentials are generically independent. Arnold-Liouville’s Theorem asserts that if the moment map F is proper and regular then its fibers are tori (a Lagrangian fibration) and there exist action-angle coordinates that linearize the hamiltonian system. We are interested in the construction of Lagrangian fibrations asso- ciated with integrable systems and ideas that are behind the Arnold-Liouville theorem and its demonstration.