Approximation par éléments finis d’un problème aux valeurs propres bidimensionnel

Abstract

Cette partie de notre étude contient la théorie classique de l’approximation spectrale pour les opérateurs compacts. Les objectifs de ce mémoire sont multiples. Il s’agit tout d’abord de com- prendre comment du point de vue variationnel d’aborder certains problèmes d’équations aux dérivées partielles elliptiques aux valeurs propres. Il permet aussi d’introduire des éléments théoriques qui conduiront à la résolution du problème (démontrer l’existence et l’unicité de la solution dans un cadre adé- quat) puis de construire la méthode des éléments finis, qui s’appuie sur les considérations théoriques , de façon à fournir naturellement un moyen d’ap- procher la solution (qui, bien souvent, n’est pas calculable explicitement ). Les applications du cadre théorique sont présentées en particulier dans : l’approximation des problèmes aux valeurs propres des méthodes primales et Mixtes dans le cas bidimentionnelles. Le problème consiste à chercher les valeurs propres λ et les fonctions propres correspondantes u (avec u 6= 0) tels que : {−∆u(x,y) = λu(x,y) dans Ω u = 0 sur ∂Ω (1) La formulation variationnelle du problème se résume en : Trouver λ ∈Ret u ∈V \{0}, tels que : ∫ Ω ∇u∇v dx dy = λ ∫ Ω uv dx dy, ∀v ∈V 1 La méthode de Galerkin consiste a considérer un sous-espace de dimension finie Vh ⊂V et a chercher λh ∈Ret uh ∈Vh \{0} tels que : ∫ Ω ∇uh∇vh dx dy = λ ∫ Ω uhvh dx dy, ∀vh ∈Vh On déduit de cette etude les résultats suivants : 1. Une interprétation physique, des vecteurs propres qui présentent plus d’oscillations lorsque la fréquence augmente. Un maillage plus fin est nécessaire pour avoir une bonne approximation (ce qui est realisable grâce aux ordinateurs professionnels). 2. La deuxième observation importante , c’est le fait que toutes les valeurs propres sont approchées supérieurement . 3. Si le même calcul de valeur propre est effectué avec Vh égal à l’espace des polynômes continus par morceaux de degré au plus p ≥ 2 et s’annulant aux extrémités alors les estimations (1.8) deviennent. ∥∥∥u(k) −u(k) h ∥∥∥V = O (hp) , ∣∣∣λ(k) −λ(k) h ∣∣∣ = O (h2p) 4. Les résultats présentés jusqu’à présent sont optimaux lorsque toutes les fonctions propres sont régulières (lisses). 5. Il s’avère généralement que certains espaces propres contiennent des fonc- tions propres régulières (lisses), tandis que d’autres peuvent contenir des fonctions propres singulières. Dans de tels cas, on obtient du théorème (2.7) une sous-optimale estimation, puisque certaines bornes sont données en termes d’approximation de V (k). Par conséquent, si nous nous intéressons à la kime valeur propre, nous devons considérer les propriétés de régularité de tous les espaces propres jusqu’au kime . Ce comportement sous-optimal n’est pas observé en pratique (voir, par exemple, le tableau (2,2)) ; Les investigations théoriques présentées dans les sections précédentes confirment que le taux de convergence de la kime valeur propre (respectivement la fonction propre) est en effet lié à l’ap- proximation des fonctions propres associées à la kime valeur propre, seule. Pour des résultats plus précis concernant les valeurs propres multiples. 6. Finalement ce memoire aboutit a une importante conclusion, qui affirme que : La Formulation Galerkin est standard dans tous les schémas d’éléments finis et fournir une bonne approximation du problème. Cette formulation primale peut être appliqué avec succès au problème aux valeurs propres du Laplacien. Par contre La formulation mixte nécessite des choix très sophistiqués des éléments finis pour avoir la convergence