On the stability of solutions for some viscoelastic problems

Abstract

In this dissertation, we study the well-posedness and the asymptotic behavior of some hyperbolic-type equations. The first problem focuses on the porous elastic system with thermoelasticity. To prove the global existence, uniqueness, and smoothness of solution, we use the semigroup theory. Then, by using the multiplier and energy method, we establish the stability of the system for the cases of equal and nonequal speeds of wave propagation. In addition, we illustrate our theoretical findings by presenting some numerical tests. In the second problem, we use the energy method in the Fourier space, to investigate the general decay estimates of the solution for the Cauchy problem of a viscoelastic plate equations. Finally, we consider the Cauchy problem of a Moore-Gibson-Thompson equation with viscoelastic term. Also, by using the energy method in the Fourier space, we establish the general decay rate of the solutions

تتناول هذه الأطروحة دراسة السلوك التقاربي لبعض المسائل المتعلقة بالمعادلات الزائدية. في المسألة الأولى نقوم بدراسة نظام المرونة الحرار ية ذات الوسائط المسامية. فلإثبات وجود ووحدانية الحل والصقالة التي يتمتع بها، نستخدم نظر ية أنصاف الزمر. بعد ذلك، وباستخدام طر يقتي المضروبات والطاقة، نثبت استقرار الحلول للمسألة في حالتي التساوي وعدم التساوي لسرعة انتشار الأمواج. بالإضافة، نقوم باختبارات عددية لتوضيح وتأكيد نتائجنا النظر ية. في المسألة الثانية، نستخدم طر يقة دالة الطاقة في فضاء فوريي لتحقيق الإضمحلال العام لحلول مسألة كوشي لمعادلات الصفائح مع وجود حد المرونة اللزجة. مع وجود حد المرونة Moore-Gibson-Thompson في النهاية، نتناول مسألة كوشي لمعادلة مور-جيبسون-تومسون اللزجة. أيضا، باستخدام طر يقة دالة الطاقة فيفضاء فوريي، نثبت الاضمحلال العام لحلول المسألة

Dans cette th`ese, nous ´etudions le comportement asymptotique de certaines ´equations de type hyperbolique. Le premier probl`eme se concentre sur le syst`eme ´elastique poreux avec thermo´elasticit´e de type III. Pour ´etablir l’existence globale, l’unicit´e et la r´egularit´e de solution, nous utilisons la th´eorie des semi-groupe. Ensuite, en utilisant les m´ethodes du multiplicateur et de l’´energie, nous ´etablissons la stabilit´e du syst`eme pour les cas d’´egalit´e et non ´egalit´e de vitesses de propagation des ondes. De plus, nous illustrons nos r´esultats en pr´esentant quelques testes num´eriques. Dans le deuxi`eme probl`eme, nous utilisons la m´ethode de l’´energie dans l’espace de Fourier, pour ´etudier les estimations de d´ecroissance g´en´erale de la solution du probl`eme de Cauchy d’´equations d’une plaque `a terme visco´elastique. Enfin, nous consid´erons le probl`eme de Cauchy d’une ´equation de Moore-Gibson- Thompson `a terme visco´elastique. Encore, en utilisant la m´ethode de l’´energie dans l’espace de Fourier, nous ´etablissons le taux de d´ecroissance g´en´erale des solutions