Mathematical and numerical analysis of the euler-bernoulli obstacle type problem

Abstract

In this work we study finite element methods for obstacle Problem of Euler Bernoulli beam. We begin by applying the asymptotic expansion method to the three-dimensional Signorini problem for an elastic beam, of which we obtain a one-dimensional model which includes the classical bending model of an elastic beam on a rigid obstacle also known as Euler Bernoulli obstacle Problem. We study the existence of the solution of the problem and its regularity, then we apply the finite element method on the classic formulation and later on the mixed formulation of the problem which based on Lagrange multiplier, and we give priori and posteriori error estimates. Finally a numerical test with Freefem++ is presented in which we use Uzawa method and PDAS method.

Dans ce travail, nous étudions les méthodes d'éléments finis pour le problème d'obstacle de la poutre d'Euler Bernoulli. Nous commençons par appliquant la méthode de développement asymptotique au problème tridimensionnel de Signorini pour une poutre élastique, dont nous obtenons un modèle unidimensionnel qui inclut le modèle classique de flexion d'une poutre élastique sur un obstacle rigid. Nous étudions l'existence de la solution du problème et sa régularité, puis nous appliquons la méthode des éléments finis sur la formulation classique et plus tard sur la formulation mixte du problème basée sur le multiplicateur de Lagrange, et nous donnons des estimations d'erreurs a priori et a posteriori. Enfin un test numérique avec Freefem++ est présenté dans lequel nous utilisons la méthode Uzawa et la méthode PDAS

في هذا العمل قمنا بدراسة طرق العناصر المنتهية لمشكلة عائق في عارضة أويلر برنولي. نبدأ بتطبيق طريقة التحليل المقارب على مسألة سينيوريني ثلاثية الأبعاد للعارضة المرنة، والتي نتحصل منها على نموذج أحادي البعد يحتوي على نموذج الانحناء الكلاسيكي للعارضة المرنة فوق عائق صلب او ما يعرف أيضاً بمسألة عائق أويلر برنولي . قمنا بدراسة وجود حل المشكلة وانتظامه، ثم طبقنا طريقة العناصر المنتهية على الصياغة الكلاسيكية ولاحقاً على الصياغة المختلطة للمسألة معتمدين على مضاعف لاغرانج، وأعطينا تقديرات الخطأ القبلية والبعدية. وأخيرا تم تقديم اختبار عددي معFreefem++ نستخدم فيه طريقةUzawaوطريقة PDAS