Estimation non paramétrique de quelques fonctions robustes par la méthode des k plus proches voisins

Abstract

L’estimation robuste présente une méthode alternative aux méthodes de régression clas- siques, qui est particulièrement pertinente quand observations sont affectées par la pré- sence de données aberrantes. Nous nous intéresserons plus particulièrement dans cette thèse à l’estimation de quelques fonctions robustes dans le cas où les observations sont de dimension éventuellement infinie en utilisant la méthode des k plus proches voisins. Dans lesquels la variable réponse est réelle tandis que la variable explicative est fonctionnelle. L’estimation non-paramétrique par la méthode des k plus proches voisins, offre la parti- cularité d’être relativement insensible aux large déviation dues à quelques observations de valeurs atypiques. Nous utilisons pour cela un critère de sélection pour le choix des paramètres optimales afin d’améliorer la qualité de la prévision, en ajoutant le paramètre d’échelle qui sera inconnu et en proposant l’optimalité par la méthode des k plus proches voisins. Dans un premier temps, nous considérons une suite d’observations de variables aléatoires dépendantes strictement stationnaires distribuées de manière identique. Dans ce contexte, nous construisons un estimateur de la fonction de régression en reliant l’approche de M-estimation avec le cadre de quasi-association à l’aide de la méthode kNN, et nous étu- dions les propriétés asymptotiques de cet estimateur. Dans un second temps, nous avons développé un nouvel estimateur de hasard dans les cas où les co-variables sont de nature fonctionnelle, cet estimateur combine des données fonctionnelles spatiales avec la mé- thode des k plus proches voisins. Sous certaines hypothèses générales, nous énonçons la convergence presque complète avec le taux de convergence. A titre d’illustration, notre résultat est appliqué à la discrimination des courbes, aux problèmes de la prévision. Nos recherches portent sur le phénomène de concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle sur des petites boules. Cette mesure de concentration propose, sous certaines hypothèses, une solution au problème de la malédiction de dimension ainsi que de l’inexistence d’une densité de probabilité. Nous pouvons considérer que l’étude présentée dans cette thèse est une contribution à l’extension des travaux en cours dans une dimension illimitée tant dans les aspects théo- riques que pratiques

Robust estimation presents an alternative method to classical regression methods, which is particularly relevant when observations are affected by the presence of outliers. We will focus more particularly in this thesis on the estimation of some robust functions in the case where the observations are of possibly infinite dimension using the k nearest neighbors method. In which the response variable is real while the explanatory variable is functional. The non-parametric estimation by the method of k nearest neighbors, offers the particularity of being relatively insensitive to large deviations due to a few observa- tions of atypical values. We use for this a selection criterion for the choice of the optimal parameters in order to improve the quality of the forecast, by adding the scale parameter which will be unknown and by proposing the optimality by the method of k nearest neigh- bors , these two parameters together make it possible to control the bias of the estimator and thus improve the quality of the estimate. First, we consider a sequence of observations of identically distributed strictly stationary dependent random variables. In this context, we construct an estimator of the regression function by relating the M-estimating approach with the quasi-association setting using the kNN method, and we study the asymptotic properties of this estimator. Secondly, we developed a new hazard estimator in cases where the co-variables are func- tional in nature. This estimator combines spatial functional data with the k nearest neigh- bors method. under some general assumptions, we state almost complete convergence with the rate of convergence. By way of illustration, our result is applied to the discrimi- nation of curves, to forecasting problems, and to the construction of confidence intervals. Our research focuses on the phenomenon of concentration of the probability measure of the functional variable on small balls. This concentration measure propose, under certain hypotheses, a solution to the problem of the curse of dimension as well as the inexistence of a probability density . We can consider that the study presented in this thesis is a contribution to the extension of the work in progress in an unlimited dimension both in theoretical and practical aspects

يقدم التقدير القوي طريقة بديلة لطرق الانحدار الكلاسيكية، والتي تكون ذات صلة بشكل خاص عندما تتأثر الملاحظات بوجود القيم المتطرفة. سنركز بشكل خاص في هذه الأطروحة على تقدير بعض الوظائف القوية في الحالة التي تكون فيها الملاحظات ذات أبعاد لا نهائية باستخدام طريقة k الأقرب للجيران. حيث يكون متغير الاستجابة حقيقيا بينما يكون المتغير التوضيحي وظيفيًا. التقدير غير البارامترى بطريقة الأقرب للجيران، يقدم خصوصية كونه غير حساس نسبيًا للانحرافات الكبيرة بسبب ملاحظات قليلة للقيم غير النمطية. نستخدم لهذا معيار اختيار لاختيار المعلمات المثلى من أجل تحسين جودة التنبؤ، عن طريق إضافة معلمة المقياس التي ستكون غير معروفة وباقتراح الأمثل بطريقة k أقرب جيران، هذين الاثنين معا تجعل من الممكن التحكم في تحيز المقدر وبالتالي تحسين جودة التقدير. أولاً ، نأخذ في الاعتبار سلسلة من الملاحظات لمتغيرات عشوائية تابعة ثابتة بشكل متتابع وموزعة بشكل متماثل في هذا السياق، نقوم ببناء مقدر لوظيفة الانحدار من خلال ربط نهج - تقدير مع إعدادات شبه الارتباط باستخدام طريقة KNN ، وندرس الخصائص المقاربة لهذا المقدّر. ثانيًا، قمنا بتطوير مُقدِر جديد للمخاطر في الحالات التي تكون فيها المتغيرات المشتركة وظيفية بطبيعتها. يجمع هذا المقدر بين البيانات الوظيفية المكانية وطريقة الجيران الأقرب . في ظل بعض الافتراضات العامة، نعلن التقارب الكامل تقريبا معدل التقارب. على سبيل التوضيح، يتم تطبيق نتيجتنا على تمييز المنحنيات، والتنبؤ بالمشكلات وبناء فترات الثقة. يركز بحثنا على ظاهرة تركيز المقياس الاحتمالي للمتغير الوظيفي على الكرات الصغيرة. يقترح مقياس التركيز هذا في ظل فرضيات معينة، حلاً لمشكلة لعنة البعد بالإضافة إلى عدم وجود كثافة احتمالية. يمكننا أن نعتبر أن الدراسة المقدمة في هذه الأطروحةهي مساهمة في توسيع العمل الحالي في البعد غير المحدود منالناحيتين النظرية والعملية