CALCUL DE LA FONCTION DE GREEN QUANTIQUE DANS UNE SPHERE DE DIMENSION N

Abstract

Dans ce travail, nous avons présenté un traitement précis par la méthode de la fonction de Green de certains problèmes de mécanique quantique dans un espace multidimensionnel. Nous avons d’abord placé le travail dans le contexte des équations de physique mathématique. Nous avons passé par un certain nombre de concepts liés aux équations di¤é- rentielles ordinaires, équations aux dérivées partielles, conditions aux limites,etc. Ensuite, nous avons développé le concept de la fonction de Green et présenté les di¤érentes mé- thodes utilisées pour les obtenir, en particulier pour les équations di¤érentielles du second ordre, puis nous nous sommes intéressés à la signi…cation physique des fonctions de Green, et leur importance pour la résolution de divers problèmes physique. Nous avons abordé le sujet des fonctions de Green en mécanique quantique après avoir passé par quelques notions de base. Ensuite nous avons donné une description explicite du concept propagateur et fonctions de Green pour l’équation de Schrodinger, la relation avec l’opérateur d’évolution,etc. Nous avons ainsi fait connaissance avec certains objets mathématiques, d’une utilisation très courante en physique. Nous avons calculé la fonction de Green relative à l’équation de Schrodinger indépendante du temps en coordonnées sphériques de dimension N avec des potentiels symétriques sphériques, nous avons traité trois cas à savoir : le problème d’un puits in…ni, le problème d’une barrière …nie, (deux cas : cas de di¤usion et le cas e¤et tunnel), et le problème d’un puits …ni, (les états liés). Pour chaque problème, nous avons calculé explicitement la fonction de Green dans di¤érentes régions de l’espace, et nous avons respecté les conditions aux limites des problèmes

ف هزا انؼ مً، لذي بُ يؼبنجت ببسخؼ بًل دوال لش نبؼض يسبئم ي كٍب كٍَب انكى غ شٍ ان سُبىي ف فضبء يخؼذد الأبؼبد. وضؼ بُ انؼ مً أولا ف س بٍق انبذذ ف طشق دم ان ؼًبدلاث انش بٌض بٍح تٍ انف زٍ بٌئ تٍ، ف شًس بَ بؼذد ي ان فًبه ىٍ ان ظُش تٌ انؼبيت ان خًؼهمت ببن ؼًبدلاث انخفبضه تٍ، وانخفبضه تٍ انجزئ تٍ، رى بذز بُ يفهىو دوال لش وػشض بُ انطشق ان خًبؼت نهذصىل ػه هٍب وحذذ ذٌا يغ ان ؼًبدلاث انخفبضه تٍ ي انشحبت انزب تٍَ، رى ل بًُ بخىض خٍ ان ؼًب انف زٍ بٌئ تٍ نذوال لش وولف بُ ػهى أه خًٍهب ف دم ان سًبئم انف زٍ بٌئ تٍ ان خًخهفت، سىاء يب حؼهك ي هُب ب سًبئم انذبلاث ان سًخمشة )غ شٍ ان خًؼهمت ببنزي (ٍ أو انذبلاث انذ بٌُي كٍ تٍ )ان خًؼهمت ببنزي (ٍ. رى ل بًُ ب بًُلشت يىضىع دوال لش ف ي كٍب كٍَب انكى د ذٍ وبؼذ ان شًوس ببؼض ان فًبه ىٍ الأسبس تٍ ن كًٍب كٍَب انكى. لذي بُ وصفبً واضذبً ن فًبه ىٍ دوال لش انخببؼت ن ؼًبدنت ششود غَشان خًؼهمت ببنزي رى ان سًخمهت ػ انزي .ٍ بذز بُ ف ػلالخهب ب ؤًرش انخطىس وأه خًٍهب ف دسبة بؼض ان مًبد شٌ ... نمذ حؼشف بُ ػهى بؼض الأش بٍء انش بٌض تٍ ، ي الاسخخذاو انذبن نهغب تٌ ف انف زٍ بٌء ، )خبصت ف انف زٍ بٌء ان ظُش تٌ انذذ زٌت( وانخ حزبج أه تًٍ كب شٍة نهذساست ي انكز شٍ ي ان شًبكم. ف الاخ شٍ، ل بًُ بذسبة دانت لش ان خًؼهمت ب ؼًبدنت ششود جَش ان سًخمهت ػ انزي ف فضبء كشوي رو أبؼبد يخؼذدة )ببسخخذاو الادذار بٍث انكشو تٌ ف بؼذ(. انذذ انك ىً ف انهبي هٍخى بٍَ نه ح بًرم كشوي. نمذ اسخخذي بُ ب جُبح حم تٍُ دم يؼبدنت ب سٍ مٍ و اسخطؼ بُ ببسخخذاو دوال يؼبنت رلاد يسبئم شه شٍة ه :ً يسأنت انبئش انلا هَبئ ،ً يسأنت دبجز انك ىً )يسأنت الا خَشبس ويسأنت ان فُك انك ىًي (ً، وأخ شٍا يسأنت انبئش ان خًُه ) انذبلاث ان خًشابطت(. نكم يسأنت ل بًُ وبىضىح دسبة دانت لش ف يخخهف أجزاء انفضبء ان ذًذد يغ الأخز ببلاػخببس انششوط ػهى انذذود.

In this work, we have presented a precise treatment by the Green function method of certain problems of non-relativistic quantum mechanics in high-dimensional space. In the rst chapter we placed the work in the context of the equations of physical ma- thematics, we passed by a number of concepts related to this subject as : the general theory of the ordinary di¤erential equations, the partial di¤erential equations, the conditions to the Afterwards, we explored the concept of Green s function and presented the di¤erent methods of obtaining Green s functions for the second order di¤erential equations, then we are interested in the function of Green in classical physics. for this we have published two examples, one for the static case and another for the dynamic case. In the second chapter we have discussed the subject of Green s function in quantum mechanics where we have found it necessary to go through some basic notions of quantum mechanics. then we gave an explicit description of the propagative concepts and functions of Green for the Schrodinger equation. the relation with the operator of evolution ... We thus got acquainted with certain mathematical objects, of a very current use in physics, (in particular in modern theoretical physics) and which prove very important for the study of a lot of problems. In the third chapter, we calculated the function of Green relative to the time inde- pendent Schrodinger equation in the spherical coordinate of dimension N. The potential part in the Hamiltonian is a piecewise continuous operator obeying a spherical symmetry. We have successfully used the technique of solving the di¤erential equation (the Bessel equation). We have, with the help of this technique, recovered the function of Green from two problems : the rst is related to a potential equal to a positive constant V0 inside sphere of radius "a" and a null operator in outside this sphere. the second is related to iii a potential equal to a negative constant (0 > V0) on the sphere of radius "a" and equal to zero outside this sphere. For each problem, we have explicitly calculated the function of Green in di¤erent regions of space and for cases E > V0 ; E < V0. We respected the boundary conditions of the problems. The discrete spectra of the Hamiltonian operator have also been derived in the case of nite and in nite well potentials