Quantum mechanics applications with a new type of extended uncertainty principle: Path integral approach

Abstract

In the context of the non-relativistic Snyder-de Sitter model, this research aims to investigate the relativistic oscillators and non-relativistic quantum mechanics in momentum space using the path integral formalism. This examination is demonstrated in three main parts. In the first part, we formulated the D-dimensional momentum space path integral transition amplitude for both harmonic oscillators and free particles. Through the application of quantum correc- tion rules, we derived the exact energy spectrum and the normalized radial momentum space eigenfunctions, while also investigating limiting cases for small parameter values. In the sec- ond part, we examined the relativistic Green function employing the same algebraic model, under the influence of a homogeneous electric field, for a Dirac oscillator particle with mass m and charge e. This analysis is followed by computing the propagator function and determin- ing the associated spectral energies. Additionally, we examine the thermodynamic properties of an electron gas at high temperatures across four deformation parameter sets, analyzing their impact and deducing limiting cases for small parameter values. In the last part, we applied the path integral formalism to the Green function equation of a (1 + 2)−dimensional Dirac oscillator under a homogeneous magnetic field, utilizing the modified Snyder algebra by S. Mignemi (2012). Across radial coordinates transformation, we computed the Green function and electron propagator, extracting exact bound states and their associated spectral energies. Our investigation unveiled that when mω̄ → mωc/2 and c → V F , the behavior of the Dirac os- cillator system under a uniform magnetic field within the Snyder-de Sitter algebra mirrors the dynamics of the monolayer Graphene problem within the same algebraic framework. More- over, we derived the thermodynamic properties of the electron gas at elevated temperatures across four deformation parameter cases, assessing their influence and deducing limiting be- haviors for small parameters.

Dans le contexte du modèle de Snyder-de Sitter non relativiste, cette recherche vise à étudier les oscillateurs relativistes et la mécanique quantique non relativiste dans l’espace des impul- sions en utilisant le formalisme du l’intégrale de chemin. Cette étude est présentée en trois parties principales. Dans la première partie, nous avons formulé l’amplitude de transition du l’intégrale de chemin de l’espace des impulsions D-dimensionnelles pour les oscillateurs har- moniques et les particules libres. En appliquant les règles de correction quantique, nous avons dérivé le spectre d’énergie exact et les fonctions propres normalisées de l’espace des impul- sions radiales, tout en examinant les cas limites pour de petites valeurs de paramètres. Dans la deuxième partie, nous avons examiné la fonction de Green relativiste en utilisant le même modèle algébrique, sous l’influence d’un champ électrique homogène, pour une particule os- cillateur de Dirac avec une masse m et une charge e. Cette analyse est suivie par le calcul de la fonction de propagateur et la détermination des énergies spectrales associées. De plus, nous examinons les propriétés thermodynamiques d’un gaz d’électrons à haute température à travers quatre ensembles de paramètres de déformation, en analysant leur impact et en dé- duisant des cas limites pour de petits paramètres. Dans la dernière partie, nous avons appliqué le formalisme du l’intégrale de chemin à l’équation de la fonction de Green d’un oscillateur de Dirac (1+2) dimensionnel sous un champ magnétique homogène, en utilisant l’algèbre de Snyder modifiée par S. Mignemi (2012). À travers la transformation des coordonnées radiales, nous avons calculé la fonction de Green et le propagateur d’électrons, extrayant les états liés exacts et leurs énergies spectrales associées. Notre étude a révélé que lorsque mω̄ → mωc /2 et c → VF , le comportement du système d’oscillateur de Dirac sous un champ magnétique uniforme dans l’algèbre de Snyder-de Sitter reflète la dynamique du problème du Graphène monocouche dans le même cadre algébrique. De plus, nous avons dérivé les propriétés thermo- dynamiques du gaz d’électrons à des températures élevées à travers quatre cas de paramètres de déformation, évaluant leur influence et déduisant des comportements limites pour de petits paramètres.