Study of particular polynomials defined by recurrent linear sequences with applications

Abstract

The primary goal of this research is to delve into the well-known tribonacci sequence, explor ing its inherent identities. The aim is to extend and generalize these findings to encompass a broader class of sequences and their associated polynomials. Within this investigation, we develop a clear and explicit formula for the generalized tribonacci polynomials. Furthermore, we systematically establish and examine various properties inherent to these polynomials. Through this exploration, the research seeks to contribute to a deeper understanding of the generalized tribonacci polynomials and their properties. Similarly, we investigate Jacobsthal polynomials (Jn(ρ))n∈N, We also describe some of the properties of Jacobsthal polynomials. after that we are present an alternative formula for both generalized tribonacci polynomi als (Pn(ρ, ϱ, ϖ))n∈N and generalized tribonacci-Lucas polynomials (Ln(x, y, z))n∈N . These formulas are derived through the application of combinatorial calculus, along with an ex amination of their summation. Additionally, we provide explicit expressions for the partial derivatives of these polynomials, denoted as ∂Pn(ρ, ϱ, ϖ) and ∂Ln(ρ, ϱ, ϖ), concerning one of their variables. Furthermore, we discuss various properties associated with these polyno mials and their derivatives. Finally we introduce the generalized tribonacci and generalized tribonacci Quaternions like polynomial. We commence by establishing several fundamental identities related to these quaternions. Subsequently, we derive Binet’s formula, generating functions, and a summa tion formula specifically tailored for this class of quaternio

Dans cette thèse, nous avons obtenu quelques résultats sur les suites bien connue de tri bonacci et ses polynomials. De plus, nous établissons diverses propriétés de ces polynômes De manière similaire, nous examinons les polynômes de Jacobsthal (Jn(x))n∈N et décrivons certaines de leurs propriétés. Ensuite, nous présentons une formule alternative pour les polynômes généralisés de tribonacci (Pn(ρ, ϱ, ϖ)) n ∈ N ainsi que les polynômes généralisés tribonacci-Lucas (Ln(ρ, ϱ, ϖ)) n ∈ N. De plus, nous fournissons des expressions explicites pour les dérivées partielles de ces polynômes, notées ∂Pn(ρ, ϱ, ϖ) et ∂Ln(ρ, ϱ, ϖ), en ce qui concerne l’une de leurs vari ables. En outre, nous discutons de diverses propriétés associées à ces polynômes et à leurs dérivées. Enfin, nous introduisons les polynômes généralisés de tribonacci et les polynômes généralisés de tribonacci Quaternions. Nous commençons par établir plusieurs identités fondamentales liées à ces quaternions. Ensuite, nous dérivons la formule de Binet, les fonctions génératrices et une formule de sommation spécifiquement adaptée à cette classe de quaternions

Dans cette thèse, nous avons obtenu quelques résultats sur les suites bien connue de tri bonacci et ses polynomials. De plus, nous établissons diverses propriétés de ces polynômes De manière similaire, nous examinons les polynômes de Jacobsthal (Jn(x))n∈N et décrivons certaines de leurs propriétés. Ensuite, nous présentons une formule alternative pour les polynômes généralisés de tribonacci (Pn(ρ, ϱ, ϖ)) n ∈ N ainsi que les polynômes généralisés tribonacci-Lucas (Ln(ρ, ϱ, ϖ)) n ∈ N. De plus, nous fournissons des expressions explicites pour les dérivées partielles de ces polynômes, notées ∂Pn(ρ, ϱ, ϖ) et ∂Ln(ρ, ϱ, ϖ), en ce qui concerne l’une de leurs vari ables. En outre, nous discutons de diverses propriétés associées à ces polynômes et à leurs dérivées. Enfin, nous introduisons les polynômes généralisés de tribonacci et les polynômes généralisés de tribonacci Quaternions. Nous commençons par établir plusieurs identités fondamentales liées à ces quaternions. Ensuite, nous dérivons la formule de Binet, les fonctions génératrices et une formule de sommation spécifiquement adaptée à cette classe de quaternions

رتأينا في هذه المذكرة إلى دراسة بعض الخواص المتعلقة بمتاتلية تريبوناتشي و كثير الحدود (pn (r))n∈N بها الخاص لتليها دراسة كثير الحدود بحدود أولية معممة كإستخراج عبارة الحد العام بإستعمال المصفوفات وكذلك المشتقات الجزئية و بعض المجاميع N∈n))w ,s ,r (حيث تم إسقاط كل Tn (ثم قمنا بتعميم الحدود األولى ومعامالت كثير الحدود الخواص اللتي درسناها على هذا النوع من كثيرات الحدود وذلك من خالل تعميم كامل الدراسات و باألخص المجاميع و المشتقات الجزئية و العالقة بين N∈n))w ,s ,r (Tn (و (Ln (r, s, w))n∈N وفي األخير قمنا بإدراج ما تم استنتاجه وتوضيفه في كثيرات الحدود ذات البعد الرابع (QT ,n (r, s, w) )n∈N إسم تحت المجاميع و الجزئية ك