La Convergence Presque Complète en Statistique Semi-paramétrique Fonctionnelle

Abstract

Cette thèse explore plusieurs méthodes d’estimation pour les données fonctionnelles dans le cadre des modèles de régression fonctionnelle, en mettant l’accent sur les techniques basées sur le noyau. Notre contribution réside dans la reformulation de l’estimateur proposé par Ferraty et Vieu [23], ce qui nous permet d’estimer la fonction de distribution de la variable réponse en utilisant un seul noyau. Ce noyau se concentre sur la partie fonctionnelle, permettant la simulation de la fonction de répartition cumulative conditionnelle dérivée de la fonction de régression et sa comparaison avec la fonction de distribution théorique. Dans la première partie, nous examinons l’estimation de l’opérateur de régression dans un modèle fonctionnel à indice unique en utilisant des méthodes basées sur le noyau. Nous appliquons plusieurs techniques, y compris la validation croisée Leave-One-Out (LOO), pour sélectionner le paramètre de lissage optimal. Les résultats démontrent la convergence presque sûre de l’estimateur par noyau, validant ses fondements théoriques et son efficacité pratique. La deuxième partie se concentre sur l’estimation de la fonction de répartition cumulative conditionnelle pour les données fonctionnelles. Nous utilisons une approche de sélection de la largeur de fenêtre et validons les résultats en étudiant la convergence presque complète de l’estimateur de la fonction de répartition conditionnelle. À travers des simulations, nous confirmons la robustesse et les capacités prédictives de la méthode par noyau proposée, tout en soulignant l’importance de choisir des paramètres de lissage appropriés. Dans la troisième partie, nous abordons les défis liés à la gestion de deux paramètres de lissage dans les estimateurs à double noyau utilisés pour l’estimation de la distribution conditionnelle. En reformulant l’approche, nous montrons les avantages de l’utilisation d’un seul noyau, simplifiant ainsi le processus d’estimation. Nous recommandons l’utilisation de la validation croisée pour optimiser la sélection de ces paramètres.

This thesis explores several estimation methods for functional data within the framework of functional regression models, with an emphasis on kernel-based techniques. Our contribution lies in the reformulation of the estimator proposed by Ferraty and Vieu [23], allowing us to estimate the distribution function of the response variable using a single kernel. This kernel focuses on the functional part, enabling the simulation of the conditional cumulative distribution function derived from the regression function, and its comparison with the theoretical distribution function. In the first part, we examine the estimation of the regression operator in a single-index functional model using kernel methods. We apply several techniques, including Leave-One-Out (LOO) cross-validation, to select the optimal smoothing parameter. The results demonstrate the almost complete convergence of the kernel estimator, validating its theoretical foundations and practical efficacy. The second part focuses on the estimation of the conditional cumulative distribution function for functional data. We use a bandwidth selection approach and validate the results by studying the almost complete convergence of the conditional cumulative distribution estimator. Through simulations, we confirm the robustness and predictive capabilities of the proposed kernel method, while emphasizing the importance of choosing appropriate smoothing parameters. In the third part, we address the challenges associated with managing two smoothing parameters in the double-kernel estimators used for conditional distribution estimation. By reformulating the approach, we demonstrate the practical benefits of using a single kernel, simplifying the estimation process. We recommend the use of cross-validation to optimize the selection of these parameters, further improving the flexibility and efficiency of the estimator for prediction.