The homotopy method for nonlinear problems

Abstract

In this work, we present a comprehensive study of the homotopy method and its numerical extensions for solving both classical and fractional nonlinear differential equations. After establishing the theoretical foundations of the Homotopy Analysis Method (HAM), we applied it to various nonlinear problems, including the Burgers equation and another nonlinear model, to illustrate its accuracy and robustness. Subsequently, we developed the Spectral Homotopy Analysis Method (SHAM), which combines the analytical power of HAM with the numerical precision of spectral techniques. The SHAM was first implemented using Chebyshev polynomials to solve the Duffing and Van der Pol equations. Then, an improved version employing Chelyshkov polynomials was proposed and successfully applied to the Lane–Emden equation, marking the first use of these polynomials within this framework. Finally, the method was extended to the fractional case and tested on the fractional Duffing equation, demonstrating SHAM’s ability to effectively handle fractional-order derivatives and strong nonlinearities simultaneously. The obtained numerical results show excellent agreement with analytical solutions, fast convergence, and high numerical stability. These findings confirm the efficiency, flexibility, and accuracy of the HAM and SHAM approaches in addressing a wide range of nonlinear differential problems

Dans ce travail, nous présentons une étude complète de la méthode d’homotopie et de ses extensions numériques pour la résolution des équations différentielles non linéaires classiques et fractionnaires. Après avoir établi les fondements théoriques de la Méthode d’Analyse par Homotopie (HAM), celle-ci a été appliquée à divers problèmes non linéaires, notamment à l’équation de Burgers et à un autre modèle non linéaire, afin d’illustrer sa précision et sa robustesse. Par la suite, nous avons développé la Méthode Spectrale d’Analyse par Homotopie (SHAM), qui combine la puissance analytique de la HAM avec la précision numérique des techniques spectrales. La SHAM a d’abord été mise en œuvre à laide des polynômes de Chebyshev pour résoudre les équations de Duffing et de Van der Pol. Ensuite, une version améliorée utilisant les polynômes de Chelyshkov a été proposée et appliquée avec succès à l’équation de Lane–Emden, marquant la première utilisation de ces polynômes dans ce cadre. Enfin, la méthode a été étendue au cas fractionnaire et testée sur l’équation de Duffing fractionnaire, démontrant la capacité de la SHAM à traiter simultanément les dérivées d’ordre fractionnaire et les non-linéarités fortes. Les résultats numériques obtenus montrent un excellent accord avec les solutions analytiques, une convergence rapide et une grande stabilité numérique. Ces résultats confirment l’efficacité, la flexibilité et la précision des approches HAM et SHAM dans le traitement d’une grande variété de problèmes différentiels non linéaires.

في هذا العمل، نقدم دراسة شاملة لطريقة الهوموتوبي وامتداداتها العددية لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية الكلاسيكية والكسرية. بعد عرض الأسس النظرية لطريقة التحليل بالهوموتوبي، قمنا بتطبيقها على عدد من المسائل غير الخطية، بما في ذلك معادلة بيرغرز ومعادلة غير خطية أخرى، لإبراز دقتها وفعاليتها. بعد ذلك، طورنا طريقة التحليل الطيفي بالهوموتوبي، التي تجمع بين القوة التحليلية لطريقة التحليل بالهوموتوبي والدقة العددية للطرق الطيفية. وقد تم تطبيق هذه الطريقة أولا باستخدام كثيرات حدود تشيبيشيف لحل معادلات دافينغ وفان دير بول. ثم تم اقتراح نسخة محسّنة تعتمد على كثيرات حدود تشيليشكوف وتطبيقها بنجاح على معادلة لين–إمدن، لتكون هذه أول مرة تستخدم فيها هذه كثيرات الحدود ضمن هذا الإطار. وأخيرا، تم تعميم الطريقة إلى الحالة الكسرية وتطبيقها على معادلة دافينغ الكسرية، مما أظهر قدرة طريقة التحليل الطيفي بالهوموتوبي على التعامل بفعالية مع المشتقات ذات الرتبة الكسرية واللاخطيات القوية في الوقت نفسه. النتائج العددية المتحصّل عليها أظهرت توافقا ممتازا مع الحلول التحليلية، وسرعة في التقارب، واستقرارا عدديا عاليا. وتؤكد هذه النتائج كفاءة ومرونة ودقة طريقتي التحليل بالهوموتوبي و التحليل الطيفي بالهوموتوبي في معالجة طيف واسع من المعادلات التفاضلية غير الخطية.