Inverse Problem For Some Fractional Differential Equations

Abstract

This thesis studies an inverse coefficient problem in a time-fractional diffusion equation. The objective is to reconstruct an unknown spatially varying diffusion coefficient from observations of the state variable. A Tikhonov regularization approach is employed to overcome the ill-posedness of the problem. The forward model is discretized using the finite element method in space and convolution quadrature in time, while the resulting optimization problem is solved using the Nelder–Mead simplex algorithm. Numerical experiments demonstrate the effectiveness and stability of the proposed reconstruction method in the presence of noisy data.

Ce mémoire porte sur un problème inverse d’identification d’un coefficient dans une équation de diffusion fractionnaire en temps. L’objectif est de reconstruire un coefficient de diffusion spatialement variable et inconnu à partir d’observations de la variable d’état. Afin de remédier au caractère mal posé du problème, une approche de régularisation de Tikhonov est adoptée. Le modèle direct est discrétisé par la méthode des éléments finis en espace et par la quadrature de convolution en temps, tandis que le problème d’optimisation résultant est résolu à l’aide de l’algorithme du simplexe de Nelder–Mead. Les expériences numériques mettent en évidence l’efficacité et la stabilité de la méthode de reconstruction proposée en présence de données bruitées