Properties of a Reissner-Nordstr¨om Black Hole immersed in Dark Matter Perfect fluid

Abstract

This memorandum addresses the study of spacetime structure within the framework of general relativity, with a particular focus on the charged Reissner–Nordström black hole immersed in a dark matter of the ideal fluid type. This memorandum focuses on the study of the structure of spacetime within the framework of general relativity, paying particular attention to the charged Reissner–Nordström black hole immersed in ideal dark matter. The study begins by presenting the fundamental principles of special and general relativity, along with Einstein equations that describe the effect of matter and energy on the curvature of spacetime, in addition to addressing spherically symmetric solutions as the basis for constructing black hole metrics. The study begins with an introduction to the fundamental principles of special and general relativity, including Einstein equations which describe the effect of matter and energy on the curvature of spacetime. It also covers spherically symmetric solutions as a basis for constructing black hole metrics. In the main part, the Reissner–Nordström metric is derived from the Einstein– Maxwell equations, which take into account the effects of both mass and electric charge on the geometry of spacetime. Then, this solution is generalized by introducing the effect of dark matter, which leads to modifying the metric component by adding a logarithmic term that reflects the influence of the dark field on the geometric structure of spacetime. The main part derives the Reissner–Nordström metric from the Einstein– Maxwell equations, which consider the effects of mass and electric charge on the geometry of spacetime. This solution is then generalised by introducing the effect of dark matter, which modifies the metric component by adding a logarithmic term that reflects the dark field's influence on the geometric structure of spacetime. The physical properties of the resulting model are also analyzed, particularly the structure of the event horizon and the effect of dark matter on its position and stability. Additionally, the motion of particles in this spacetime is studied, deriving the conditions for circular orbits and determining the radius of the stable inner circular orbit. The resulting model physical properties are analysed, with a particular focus on the structure of the event horizon and the effect of dark matter on its position and stability. Additionally, the motion of particles in this spacetime is studied to derive the conditions for circular orbits and determine the radius of the stable inner circular orbit. The results show that the introduction of PFDM dark matter leads to significant modifications in the spacetime structure and directly affects the properties of the charged black hole compared to the traditional Reissner–Nordström case. The results show that introducing PFDM dark matter significantly modifies the structure of spacetime and directly affects the properties of charged black holes, compared to the traditional Reissner–Nordström case.

Cette mémoire étudie la structure de l’espace-temps dans le cadre de la relativité générale, en se concentrant particulièrement sur le trou noir chargé de type Reissner–Nordström immergé dans de la matière noire sous forme de fluide parfait (PFDM). L’étude commence par la présentation des principes fondamentaux de la relativité restreinte et générale, ainsi que des équations d’Einstein décrivant l’influence de la matière et de l’énergie sur la courbure de l’espace-temps. Elle aborde également les solutions à symétrie sphérique comme base pour la construction des métriques des trous noirs. La partie principale consiste à dériver la métrique de Reissner–Nordström à partir des équations d’Einstein–Maxwell, qui prennent en compte les effets de la masse et de la charge électrique sur la géométrie de l’espace-temps. Cette solution est ensuite généralisée en introduisant l’effet de la matière noire de type PFDM, ce qui conduit à une modification de la métrique par l’ajout d’un terme logarithmique représentant l’influence du champ sombre sur la structure de l’espace-temps. Les propriétés physiques du modèle obtenu sont ensuite analysées, notamment la structure de l’horizon des événements ainsi que l’impact de la matière noire sur sa position et sa stabilité. En outre, le mouvement des particules dans cet espace-temps est étudié, avec la dérivation des conditions des orbites circulaires et la détermination du rayon de l’orbite circulaire stable interne (ISCO). Les résultats montrent que l’introduction de la matière noire PFDM entraîne des modifications importantes de la structure de l’espace-temps et affecte directement les propriétés du trou noir chargé par rapport au cas classique de Reissner–Nordström

تتناول هذه المذكرة دراسة بنية الزمكان في إطار النسبية العامة، مع التركيز بشكل خاص على الثقب الأسود المشحون من نوع ريزنر–نوردستروم المغمور في مادة مظلمة من نوع المائع المثالي. تبدأ الدراسة بعرض المبادئ الأساسية للنسبية الخاصة والعامة، مع تقديم معادلات أينشتاين التي تصف تأثير المادة والطاقة على انحناء الزمكان، إضافة إلى التطرق إلى الحلول ذات التناظر الكروي كأساس لبناء مقاييس الثقوب السوداء. يتم في الجزء الأساسي اشتقاق مقياس ريزنر–نوردستروم انطلاقًا من معادلات أينشتاين–ماكسويل التي تأخذ بعين الاعتبار تأثير كل من الكتلة والشحنة الكهربائية على هندسة الزمكان. بعد ذلك يتم تعميم هذا الحل بإدخال تأثير المادة المظلمة، حيث يؤدي ذلك إلى تعديل عنصر المترية بإضافة حد لوغاريتمي يعكس تأثير الحقل المظلم على البنية الهندسية للزمكان. كما يتم تحليل الخصائص الفيزيائية للنموذج الناتج، وخاصة بنية أفق الحدث وتأثير المادة المظلمة على موقعه واستقراره. بالإضافة إلى ذلك، تتم دراسة حركة الجسيمات في هذا الزمكان، مع اشتقاق شروط المدارات الدائرية وتحديد نصف قطر المدار الدائري المستقر الداخلي. تُظهر النتائج أن إدخال المادة المظلمة PFDM يؤدي إلى تعديلات مهمة على بنية الزمكان، ويؤثر بشكل مباشر على خصائص الثقب الأسود المشحون مقارنة بالحالة التقليدية لريزنر–نوردستروم