Les groupes libres et moyannebles

Abstract

Ce travail comprend trois chapitres : Le premier chapitre concerne certaines notions et définitions essentielles des groupes comme par exemple celle de groupe libre, d’équid écomposabilité, l’actions des groupes d’isométrie sur ensembles. Le deuxième : Puisque nous allons montrer qu’il existe une mesure issue de la mesure de Lebesgue définie sur tout R2, pour parvenir, nous avons besoin de la définition d’une algèbre de Boole, ainsi que quelques propriétés élémentaires, ceci fait l’objet de ce chapitre. Le chapitre 2 nous donne les outils pour pouvoir construire une extension de la mesure de Lebesgue définie sur R2. En particulier pour démontrer le théorème qui étend sur une algèbre de Boole une mesure définie sur un de ses sous-anneaux. Nous savons que (P(R2); \; [; {) est une algèbre de Boole et que les ensembles Lebesgue-mesurables forment un sous-anneau de cette algèbre sur lequel est définie la mesure de Lebesgue. Le troisième chapitre traite : G(2) est un groupe d’automorphismes pour lequel la mesure de Lebesgue est invariante, d’où, si G(2) est moyennable , il existe une mesure exhaustive sur R2 , G(2)- invariante, finiment additive qui étend la mesure de Lebesgue. Montrons ainsi, que le groupe G(2) est moyennable. Pour ça nous prouvons, d’une part, que tout groupe commutatif est moyennable et, d’autre part, que si N est un sousgroupe normal d’un groupe G tel que N et G=N sont moyennables, alors G est moyennabl

This work includes three chapters : The first chapter concerns some basic notions and definitions of groups as for example that of free group, of equid ecomposability, the action of groups of isometrics on sets. The second : Since we are going to show that there is a measure from the measurement of Lebesgue defined on all R2 to reach, we need the definition of an algebra of Boole, as well as some elementary properties, this is the subject of this chapter. Chapter 2 : gives us the tools to build an extension of the measurement of Lebesgue set to R2 . In particular to demonstrate the theorem that extends over an algebra of Boole a measure defined on one of his sub-rings. We know that (P(R2),∩,∪,{) is a Boolean algebra and that the Lebesgue-measurable sets form a sub-ring of R2 this algebra on which is defined the measure of Lebesgue. The third chapter : deals with : G(2) is a group of automorphisms for which the measure Lebesgue is invariant, hence, if G(2) is amenable, there is an exhaustive measure of R2, G(2) - invariant, finitely additive that extends the measure of Lebesgue. Let’s show that the Group G(2) is amenable. For that we prove, on the one hand, that any commutative group is amenable and, on the other hand, that if N is a normal subgroup of a group G such as N and G/N are amenable, so G is amenable.