Contribution à l’analyse asymptotique des couches limites en homogénéisation périodique

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude asymptotique de la couche limite en homogénéisation périodique de quelques problèmes elliptiques. L’étude est faite en deux parties. Dans la première partie, en se basant sur les résultats obtenus dans ce domaine, on améliore les estimations obtenues des correcteurs de la couche limite dans le problème classique d’homogénéisation pour un problème elliptique de type divergence. Ensuite, nous obtenons les correcteurs de couche limite de troisième ordre et les estimations correspondantes. La deuxième partie comporte l’établissement du problème homogénéisé et les tenseurs effectifs pour une structure hétérogène tridimensionnelle piézoélectrique. Ensuite, on s’intéresse au cas d’une plaque piézoélectrique à structure périodiquement hétérogène, quand l’épaisseur et la taille de la période tendent vers zéro simultanément. La méthode utilisée pour obtenir ces résultats est la méthode des fonctions test oscillantes dite méthode de l’énergie de Luc Tartar.

This thesis is devoted to the asymptotic study of the boundary layer in periodic homogenization of some elliptic problems. The study is done in two parts. In the first part, based on the results obtained in this field, we improve the estimates obtained on the boundary layer correctors in the classical homogenization for an elliptic problem of divergence type. Then we get the third order boundary layer correctors and the corresponding estimates. The second part involves establishing the homogenized problem and the effective tensors for a three-dimensional piezoelectric heterogeneous structure. Next, we are interested in the homogenization of a piezoelectric plate, with a periodically heterogeneous structure, when the thickness and the size of the period tend to zero simultaneously. The method used to obtain these results is the oscillating test functions method known as the Energy Method by Luc Tartar.

هذه الأطروحة مخصصة للدراسة المقاربية للطبقة الحدودية في التجانس الدوري لبعض المسائل الإهليلجية. الدراسة تتم في جزئين. ففي الجزء الأول، بناءًا على النتائج المحصل عليها في هذا المجال، قمنا بتحسين التقديرات التي تم الحصول عليها من مصححات الطبقة الحدودية في مسألة التجانس الكلاسيكية لمسألة إهليلجية من نوع التباعد. ثم نحصل على مصححات الطبقة الحدودية من الدرجة الثالثة والتقديرات المقابلة . الجزء الثاني يتضمن إيجاد المسألة المتجانسة والموترات الفعالة لبنية كهروضغطية ثلاثية الأبعاد غير متجانسة. بعد ذلك ، نهتم بحالة صفيحة كهرضغطية ذات بنية غير متجانسة بشكل دوري ، عندما يؤول سمك الصفيحة وحجم الفترة إلى الصفر في وقت واحد. الطريقة المستخدمة للحصول على هذه النتائج هي طريقة دوال الاختبار المتذبذبة المعروفة باسم طريقة الطاقة لصاحبها .Luc Tartar