ETUDE DE LA COUCHE LIMITE DANS L’HOMOGENEISATION D’UN PROBLEME ELLIPTIQUE

Abstract

L'objectif de ce travail de mémoire est de présenter le phénomène de couche limite en homogénéisation. Le modèle considéré est un problème elliptique d'ordre 2 avec condition du bord de Dirichlet homogène. La problématique générale est d'étudier le comportement des solutions prés du bord. Nous appliquons la méthode de développement asymptotique à double échelles à ce problème dans le cas où le domaine est à frontière parallèle aux axes de coordonnées. La deuxième partie est de donner l'estimation d'erreur intérieure et globale dans les espaces H 1 et L2. Enfin, nous donnons une application en élasticité linéaire où cette foi le problème de couche limite est un problème en contraintes et la méthode employée est la méthode des potentiels.

The aim of this work is to present a boundary layer phenomenon in homogenization. The model considered is an elliptic 2nd order problem with homogeneous Dirichlet condition. The general problem is to study the behavior of the solution near the boundary. We apply the double scale asymptotic expansion method to this problem in the case when the boundary of the domain is parallel to the coordinate axes. The second part of our study is to give interior and global error estimates in H1 and L2. Finally, we give an application in linear elasticity where in this case the boundary layer problem is considered is stress form and the method used is the potential method.

الهدف من هذا العمل هو دراسة ظاهرة الطبقات الجدارية في طريفة المجانسة ، النموذج المقترح هو عبارة عن مسألة ناقصية من الرتبة الثانية مزودة بشرط ديريشلي المتجانس على حدود الحيز. المسألة الأساسية هي دراسة سلوك هذه الطبقات في المنطقة القريبة من حافة الحيزحيث نقوم بتطبيق طريقة النشر المقارب ذو السلّم الثنائي في حالة الحيز ذي الحافة الموازية لمحاور المعلم. ومن ثم نقوم بإعطاء نتائج حول تقدير الخطأ في حالتي التقدير الداخلي و التقدير الكلي في كل من الفضائين H1 و L2. في الأخير نقدم تطبيقا في حالة المرونة الخطية بحيث مسألة الطبقة الجدارية موضوعة في الشكل الإجهادي ، الطريقة المستعملة للحل في هذه الحالة هي طريقة الكمون.