Algèbre et analyse tensorielles et leurs applications pour l’étude des milieux continus

Abstract

L’algèbre et l’analyse tensorielle sont nécessaires pour la description et la manipulation des grandeurs physiques qui sont introduites en mécanique des milieux continus. Ce cours n’a présenté que les concepts qui sont strictement nécessaires à la mécanique des milieux continus. Il ne peut en aucun cas être considéré comme un cours complet sur les tenseurs. En particulier, bon nombre de résultats (soigneusement signalés)ne sont valables que pour les tenseurs agissant sur des vecteurs de V3. Ces développements permettent de simplifier la présentation de la mécanique des milieux continus. En effet, les équations de la mécanique peuvent s’écrire uniquement avec des opérations tensorielles algébriques et des opérateurs différentiels tensoriels (gradient, divergence,rotation et laplacien).Sous cette forme condensée, on peut alors se concentrer sur l’essentiel : les concepts de la mécanique, sans s’encombrer des choix (accessoires car non physiques) d’un quelconque système de coordonnées ou d’une quelconque base pour donner des composantes aux tenseurs. Les équations tensorielles sont par essence valables quels que soient ces choix. Il n’en reste pas moins que pour résoudre effectivement un problème particulier, il faut choisir un système de coordonnées pour repérer les points du domaine étudié et il faut choisir une ou plusieurs bases pour exprimer les composantes des tenseurs d’ordre p > 1. Les équations tensorielles (algébriques ou différentielles) qui seront écrites en mécanique des milieux continus se traduisent alors par des équations ordinaires (algébriques ou différentielles) portant sur des composantes et qu’il faut résoudre soit analytiquement (quand on peut) par les méthodes mathématiques standard (éventuellement à l’aide d’un logiciel de calcul formel), soit numériquement par des méthodes numériques approchées (généralement à l’aide d’un ordinateur). C’est pour expliquer clairement le passage des équations tensorielles aux ordinaires que les chapitres précédents ont été soigneusement détaillés.