A C¹ finite element method for the biharmonic problem

Abstract

Our work focuses on C¹ finite element method for the biharmonic equation. In order to conduct our research, we dealt with the modelization model in chapter 1 by presenting Kircchoff plate model hypothesis. Besides that, we used the theory of Lax-Milgram to realize the existence and uniqueness of the solution. In chapter 2, we went deeply in the core of the study through the discretization of the model and confirming the finite element method. We chose the finite element of Argyris to ensure the well-posedness of the discrete problem. For the approximation of the problem solution, in the second part of chapter 2 analyzed the error in two parts. The first part studied the priori estimation of the discretization error to ensure the (Céa), while the second part studied the posteriori error estimates to show the reliability of the indicator and optimality of the indicator

Nos travail concentre la méthode des éléments finis C¹ pour l’équation biharmonique. Afin de mener nos recherches, nous avons traité le modèle la modélisation dans le chapitre 1 en présentant l'hypothèse du modèle de plaque de Kircchoff. De plus, nous avons utilisé la théorie de Lax-Milgram pour démontrer l'existence et l'unicité* de la solution. Au chapitre 2, nous avons approfondi de l’étude en discridsant le modèle par une méthode des éléments finis conformes. Nous avons choisi l'élément fini d'Argyris pour assurer la bonne pose du problème discret. Pour l’approximation de la solution du problème, le chapitre 2 a analysé l’erreur en deux parties. La première partie a étudié l'estimation à priori de l'erreur de discrétisation pour assurer la (Céa), tandis que la deuxième partie a étudié les estimations d'erreur a posteriori pour montrer la fiabilité de l'indicateur et son optimalité.

يركز عملنا هذا على طريقة العناصر المنتهيةC¹على المعادلة التفاضلية من الدرجة الرابعة (the biharmonic equation) في الفصل الأول تقديم فرضيات (Kircchoff) للحصول على المعادلة التفاضلية السابق ذكرها والى جانب ذلك استخدمنانظرية (Lax-Milgram) لإثبات وجود ووحدانية الحل للمعادلة التفاضلية أما في الفصل الثاني فقد عمقنا جوهر الدراسة من خلال تقسيم المجال (الصفيحة) وتأكيد نظرية العناصر المنتهية وبالتحديد اختيارنا تطبيق العناصر المنتهية ل (Argyris) ومنه نستنتج المعادلة الجزئية من المعادلة الأصلية بالإضافة إلى ذلك من اجل تقريب الحل تطرقنا في الفصل الثالث لتحليل الخطأ في جزأين في الجزء الأول تحليل الخطأ بمقدار تقريبيا بتطبيق (Céa) في حين الجزء الثاني تقدير الخطأ بقيمة صحيحة