Contribution à l’étude de quelques problèmes fractionnaires àvec des conditions non locales

Abstract

Dans ce travail on s’intéresse aux problèmes non locaux pour des équations intégro-différentielles hyperboliques, avec des conditions aux limites du type intégrale. On a développé la méthode des inégalités d’énergie pour des problèmes très compliqués, ou, on a appliqué la méthode pour un problème fractionnaire (au sens Caputo) bi-dimensionnel , les conditions du problème sont des conditions intégrales (non local) et classique (Neumann et Dirichlet), Nous avons étudié tous les problèmes ci-dessus en termes d'existence et d'unicité de la solution dans chaque cas. La thèse est composée de 4 chapitres, le chapitre I est une introduction qui présente l'historique des problèmes non classiques étudiés, l’importance et le but du thème. Le chapitre II est consacré aux rappels de certains concepts préliminaires fondamentaux et outils de base dans ce travail concernant les opérateurs, la densité dans les espaces de Hilbert, les espaces fonctionnels, calcul fractionnaire, et certaines lemmes techniques. Le chapitre III est comme suit: nous donnons l'énoncé du problème fractionnaire et les espaces de fonctions nécessaires. Ensuite, nous prouvons une estimation a priori à partir de laquelle on déduit l'unicité d'une solution forte du problème posé. Aussi, nous établissons l'existence de la solution de notre problème, en prouvant que la fermeture de la valeur de l'opérateur L généré par le problème, est dense dans l'espace d'Hilbert Y. La méthode utilisée dans les problèmes classiques (l'estimation a priori), ont été développées au niveau fractionnaire et avec succès. (C'est le sujet de notre article). Nous établissons l'existence et l'unicité de la solution forte pour le problème linéaire associé. Sur la base des résultats obtenus pour le problème linéaire, nous appliquons un processus itératif afin d'établir le bien posé du problème non linéaire.(dans chapitre IV). Une conclusion générale. Une comparaison avec d'autres études et méthodes réalisées dans le même domaine et les difficultés, une perspective est apportée à la fin de la thèse ouvrant la voie à de futures recherches et applications

In this work we are interested in nonlocal problems for hyperbolic integro- differential equations, with boundary conditions of the integral type. We have developed the method of energy inequalities for very complex problems, or, we have applied the method for a fractional problem (in the Caputo sense) two-dimensional, the conditions of the problem are integral (non-local) and classical conditions (Neumann and Dirichlet), We have studied all the above problems in terms of existence and uniqueness of the solution in each case. The thesis begins with an introduction which presents the history of the non-classical problems studied, the importance and the purpose of the topic. Chapter II is devoted to reminders of some fundamental preliminary concepts and basic tools in this work concerning operators, density in Hilbert spaces, functional spaces, fractional calculus, and certain technical lemmas. Chapter III is as follows : we give the statement of the fractional problem and the necessary function spaces. Then, we prove an a priori estimate from which we deduce the uniqueness of a strong solution of the problem posed. Also, we establish the existence of the solution of our problem, by proving that the closure of the value of the operator L generated by the problem, is dense in the space of Hilbert Y. The method used in classical problems (the a priori estimation), have been developed at the fractional level and with success. (This is the subject of our article). We establish the existence and the uniqueness of the strong solution for the associated linear problem. On the basis of the results obtained for the linear problem, we apply an iterative process in order to establish the good posed of the nonlinear problem (in chapter IV). A general conclusion. A comparison with other studies and methods car- ried out in the same field and the difficulties, a perspective is brought at the end of the thesis opening the way to future research and applications.