Finite element approximation of a prestressed shell model

Abstract

The aim of this work is to propose the finite element approximation of a prestressed shell model. Because of the constraint involved in the definition of the functional space, it cannot be discretized by conforming finite element methods, in Cartesian coordinates system a penalized version and a mixed method of the model and their finite element discretization are then proposed. We prove the existence and uniqueness results of solutions for the continuous and discretes problems for a penelized and mixed method, and we derive a priori error estimates. We present also a new formulation where the unknowns (the displacement of the midsurface and the infinitisimal rotation) are described in Cartesian and local covariant basis respectively. Due to the constraint, a penalized version is then considered. We present a robust a priori error estimation. Moreover, a reliable and efficient a posteriori error estimator is also presented. Numerical tests that validate and illustrate our approach are given.

Le but de ce travail est de proposer une approximation par éléments finis d’un modèle de coque précontrainte. À cause de la contrainte fonctionnelle imposée, une discrétisation par éléments finis conforme n’est pas possible pour le moment, alors en coordonnées cartésiennes on propose une formulation de pénalisation et une formulation mixte pour le problème, ceci nous conduit à des problèmes sans contraintes. Nous prouvons les résultats d’existence et d’unicité des solutions pour les problèmes continus et discrets pour la méthode pénalisée et la formulation mixte. Nous présentons aussi une nouvelle formulation où les inconnues (le déplacement de la surface moyenne et la rotation infinitésimale) sont respectivement décrites dans des bases cartésiennes et locales covariantes. À cause de la contrainte, une version pénalisée est alors considérée. Nous présentons une estimation d’erreur a priori robuste. De plus, une estimation d’erreur a posteriori fiable et efficace est également présentée. Nous donnons finalement des tests numériques qui valident et illustrent notre approche.