Reduced basis method for parametric PDE’s

Abstract

We present the reduced basis method for elliptic partial differential equations PDEsdepending on a random parameter. We consider the diffusion equation for two different models. The models are treated in one and two dimensional cases. For the case when the random parameter describes the diffusion coefficient, we show that the a priori error estimate by using the logorithmic-quasi-uniform distribution of sample points, the reduced basis approximation converges exponentially to the exact solution uniformly in parameter space. For this case the method is illustrated by numerical examples in the last chapter. For the a posteriori estimate, we present residual type a posteriori error analysis. We restrict ourselves on the theoretical analysis. Due to the structure of the model problem, the residual is calculated by using an affine decomposition of the linear and the bilinear forms. The coercivity constants are computed by Successive Constraint Method SCM.

Nous presentons la méthode des bases réduites pour des équations aux dérivées partielles elliptiques PDEs dependents d'un paramétre. Nous presentons l'équation de diffusion pour deux modèlles différents. Nous considèrons le cas unidimensionelle ansi que le cas bidimensionelle. Pour le cas où le paramètre aléatoire décrit le coefficient de diffusion, nous montrons que l'estimation d'erreur a priori obtenue en utilisant la distribution algorithmique-quasi-uniforme des points d'échantillonnage, l'approximation de la base réduite converge exponentiellement vers la solution exacte uniformément dans l'espace des paramètres. Pour ce cas la méthode est validée par des exemples numériques. Pour l'estimation a posteriori, nous présontons une estimation d'erreur a posteriori par résidu. Nous sommes intéressés aux résultats théoriques. Du à la structure du modèlle résidu est calculés en utilisant la décomposition affine des formes linéaires et bilinéaires. Les constantes de coercivité sont calculés par la méthode des contraintes successives SCM.