Mathematical Study of von Kármán Equations with Memory and Delay

Abstract

In our work, we focus on studying the stability of nonlinear elastic plates of von Karman with memory and delay, using the energy method. Based on functional analysis techniques, we investigate the behavior of the system’s energy. We show that this energy is decreasing and then determine the rate or speed of convergence, providing us with information about the system’s stability. Our research work addresses three distinct problems. The first one concerns the study of energy decay for a von Karman plate hinged at the boundary, with infinite memory. The second problem extends the first one by adding a fixed time delay term. In both cases, the energy decays polynomially. The third problem deals with the energy decay of a von Karman plate clamped at the boundary, with finite memory and a variable time delay term. In this case, the system’s energy decays exponentially. We observe that the type of boundary conditions and memory have an influence on the rate of energy decay of the system and its stability.

Dans notre travail, nous nous intéressons à l’étude de la stabilité des plaques élastiques non linéaires de von Karman, avec mémoire et retard, en utilisant la méthode de l’énergie. En nous appuyant sur des techniques d’analyse fonctionnelle, nous examinons le comportement de l’énergie du système. Nous montrons que cette énergie décroît, puis nous déterminons la vitesse ou le taux de convergence, ce qui nous fournit des informations sur la stabilité du système. Notre travail de recherche aborde trois problèmes distincts. Le premier concerne l’étude de la décroissance de l’énergie d’une plaque de von Karman articulée sur le bord, avec une mémoire infinie. Le deuxième problème étend le premier en ajoutant un terme de retard temporel fixe. Dans les deux cas, l’énergie décroît de manière polynomiale. Le troisième problème traite la décroissance de l’énergie d’une plaque de von Karman encastrée sur le bord, avec une mémoire finie et un terme de retard temporel variable. Dans ce cas, l’énergie du système décroît de manière exponentielle. Nous constatons que le type de conditions aux limites et de mémoire a une influence sur la vitesse de décroissance de l’énergie du système et sa stabilité.