Iterative methods for some variational inequalities

Abstract

The aim of this thesis is to adapt iterative methods for variational inequalities of obstacle-type. We analyze the finite element approach for two versions of an obstacle problem in a Naghdi shell, which was equivalent. The second version presents a novel perspective on the continuous problem by focusing on the unconstrained space of the displacement field and rotation. Two Lagrange multipliers are employed to enforce the tangency requirement on rotation and the inequality restriction. Additionally, we provide a priori error estimates and prove the existence and uniqueness of solutions for both continuous and discrete problems. Furthermore, we demonstrate that the Uzawa method, which deals with this variational inequality, exhibits even greater convergence. The suggested method is supported by example numerical tests, illustrating its efficacy in solving the problem of unilateral contact between elastic shells and rigid objects.

L'objectif de cette thèse est d'adapter les méthodes itératives aux inégalités variationnelles de type obstacle. Nous analysons l'approche par éléments finis pour deux versions équivalentes d'un problème d'obstacle pour une coque de Naghdi. La deuxième version présente une nouvelle perspective sur le problème continue en se concentrant sur l'espace relaxé du champ de déplacement et de rotation. Deux multiplicateurs de Lagrange sont utilisés pour forcer la rotation d’ être tangentielle au plan tangent et la contrainte d'inégalité. De plus, nous fournissons des estimations d'erreur a priori et prouvons l'existence et l'unicité de solution pour le problèmes continue et discrete. De plus, nous démontrons que la méthode d'Uzawa, qui traite cette inégalité variationnelle, est convergente. La méthode proposée est suivie par des tests numériques, illustrant son efficacité pour résoudre le problème du contact unilatéral entre des coques élastiques et des objets rigides.