On the study of Bifurcations in Marguerre-von Kármán equations

Abstract

Manymechanicalphenomenaaremathematicallymodeledaspartialdifferen-tialequations.AmongtheseequationsaretheMarguerre-vonK´arm´anequa- tions, which constitute a mathematical model for the buckling of Marguerre-vonK´arm´anshallowshells. This work aims to study the bifurcation of solutions to the Marguerre-vonK´arm´anequations,whichareasystemofsemilinearellipticequationsofthe fourthorder.More precisely,wereduce theMarguerre-von K´arm´anequa- tions to a single cubic operator equation; its second member depends on thefunction that defines the middle surface of the shallow shell and the appliedforces to it.Next, we prove the general existence theorem of the reducedequation using the main theorem for pseudomonotone operators.We thenstudy the bifurcation of the solution in the reduced equation, with the secondmemberbeingsmall,intheneighborhoodofthesimplecharacteristicvalueof the linearized problem. Finally, using the mixed finite element scheme ofHermann-Miyoshi, the existence and convergence of the approximate branchofnon-singularsolutionswerestudied,anderrorestimateswereobtained

Denombreuxph´enom`enesm´ecaniquessontmod´elis´esmath´ematiquement sous formed’´equationsauxd´eriv´eespartielles.Parmices´equations,les ´equationsdeMarguerre-vonK´arm´an,quiconstituentunmod`elemath´ematique pourleflambementdescoquespeuprofondesdeMarguerre-vonK´arm´an. Cetravailvisea`´etudierlabifurcationdessolutionsdes´equationsdeMarguerre- vonK´arm´an,quisontunsyst`emedes´equationselliptiquesquasilin´eairesdu quatri`emeorder.Pluspr´ecis´ement,nousr´eduisonsles´equationsdeMarguerre- von K´arm´an`aune seule´equationavecunop´erateurcubique,son deuxi`eme membred´epend delafonctionquid´efinitlasurfacemoyennedelacoque peuprofondeetdesforcesquiluisontappliqu´ees.Ensuite,nousprouvonsle th´eor`emed’existenceg´en´eralpourl’´equationr´eduite,enutilisantleth´eor`eme principalsurlesop´erateurspseudomonotone.Nous´etudionsensuitelabifurcationdessolutionsdansl’´equationr´eduite,dontledeuxi`ememembreest petit,auvoisinagedelavaleurcaract´eristiquesimpleduprobl`emelin´earis´e. Enfin,enutilisantlesch´ema d’´el´ementsfinismixtesdeHermann-Miyoshi, l’existenceet laconvergence delabrancheapproch´eedessolutionsnonsingulier ont ´et´e´etudi´eesavecdesestimationsd’erreursobtenus.

تنمذج العديد من الظواهر الميكانيكية رياضيا الى معادلات تفاضلية جزئية، من بين هذه المعادلات، معادلات مارغر- فون كارمان، والتي تشكل نموذجا رياضيا لإنبعاج أصداف مارغر- فون كارمان الضحلة. يهدف هذا العمل الى دراسة تشعب حلول معادلات مارغر- فون كارمان التي هي عبارة عن جملة من المعادلات الناقصية شبه خطية من الدرجة الرابعة. بشكل أكثر دقة فإننا نختصر معادلات مارغر- فون كارمان الى معادلة واحدة ذات مؤثر تكعيبي، يعتمد طرفها الثاني على الدالة التي تحدد السطح الأوسط للقشرة الضحلة والقوى المطبقة عليه. بعد ذلك نثبت نظرية الوجود العام للمعادلة المختصرة، وذلك باستعمال النظرية الأساسية لمؤثر الرتابة الزائفة، حيث يكون طرفها الثاني صغير وهذا في جوار قيمة موضوعية بسيطة للمسألة الخطية. وأخيرا باستخدام مخطط العناصر المنتهية لهيرمان- ميوشي، تمت دراسة وجود وتقارب الفرع التقريبي للحلول غير الشاذة مع الحصول على تقديرات للخطأ.