ANALYSIS OF A MARKOVIAN QUEUE WITH SERVER BREAKDOWNS

Abstract

This thesis is dedicated to the comprehensive study of various multi-server Markovian queueing systems subject to breakdowns, thus reflecting the com- plex dynamics inherent in the operations of modern communication and in- dustrial systems. The document is structured around three interconnected studies: Initially, we focus on analyzing an infinite-capacity queueing system charac- terized by batch arrivals, Bernoulli feedback, disaster, working breakdowns, and customer impatience ( through balking and reneging). We establish sta- bility conditions and derive steady-state solutions using probability generat- ing functions. This model undergoes an evaluation of performance measures, as well as a detailed cost-benefit analysis. The second study examines a finite-capacity queueing system, incorporating server breakdowns, threshold-based recovery, working vacations, Bernoulli- schedule vacation interruption, customer impatience, and retention of impa- tient customers. The steady-state analysis is conducted using the Q matrix method. We derive key performance indicators and optimize the cost func- tion through direct search and quasi-Newton methods. This approach allows us to determine the optimal number of servers, the optimal system capacity, as well as the optimal service rates during breakdown and normal operating periods. Finally, the third part of our work focuses on analyzing an M/M/c/N queue- ing model with Bernoulli feedback, catastrophes, and repairs. We provide both transient and steady-state solutions, complemented by a fluid queue analysis. The methodological approaches deployed in this thesis aim to bridge the gap between theoretical queueing models and their practical applications. They thus pave the way for more efficient system design and management in various fields, such as telecommunications, manufacturing, and service in- dustries.

Cette thèse se consacre à l’étude approfondie de divers systèmes de files d’attente Markoviens multi-serveurs sujets à des pannes, reflétant ainsi la dynamique complexe inhérente aux opérations des systèmes de communica- tion et industriels modernes. Le document s’articule autour de trois études interconnectées: Dans un pre- mier temps, nous nous penchons sur l’analyse d’un système de files d’attente à capacité infinie, caractérisé par des arrivées par lots, Bernoulli feedback, catastrophe, des pannes de travail et l’impatience des clients (manifestée par le balking et le reneging) Nous établissons les conditions de stabilité et dérivons les solutions à l’état stationnaire à l’aide de fonctions génératrices de probabilités. Ce modèle fait l’objet d’une évaluation des mesures de per- formance, ainsi que d’une analyse coût-bénéfice détaillée. La deuxième étude porte sur un système de files d’attente à capacité finie, intégrant des pannes de serveur, une récupération basée sur un seuil, des vacances actives, une interruption des vacances selon la loi de Bernoulli, l’impatience des clients et la rétention des clients impatients. L’analyse à l’état stationnaire est effectuée en utilisant la méthode de la matrice Q. Nous dérivons des indicateurs de performance clés et optimisons la fonction de coût par le biais de méthodes de recherche directe et quasi-Newton. Cette approche nous permet de déterminer le nombre optimal de serveurs, la ca- pacité optimale du système, ainsi que les taux de service optimaux pendant les périodes de pannes et de fonctionnement normal. Enfin, la troisième partie de notre travail se concentre sur l’analyse d’un modèle de files d’attente M/M/c/N avec Bernoulli feedback, catastrophes et réparations. Nous proposons des solutions tant transitoires que station- naires, complétées par une analyse de files d’attente fluides. Les approches méthodologiques déployées dans cette thèse visent à combler l’écart entre les modèles de files d’attente théoriques et leurs applications pratiques. Elles ouvrent ainsi la voie à une conception et une gestion plus efficaces des systèmes dans divers domaines, tels que les télécommunications, la fabrication et les industries de services.