Study of particular Gaussian sequences and polynomials with applications

Abstract

The main objective of this research is to study Gaussian linear recurrent sequences of orders 2 and 3, as well as Fibonacci polynomials and bivariate Fibonacci polynomials. Our work is structured into three main parts as follows: In the first part, we establish new properties and combinatorial identities for bivariate Fibonacci and Lucas polynomials by relying on different techniques, such as exponential generating functions. In the second part, we use the symmetric functions and the symmetrizing operator δb2b3 δb1b2 to give the generating functions for the product of some Gaussian Pell and Gaussian Pell-Padovan numbers with third-order recurrence numbers and polynomials. The third part gives results about the periodicity of generalized Fibonacci functions. First, We define our generalized Fibonacci functions. Next, we prove the existence of the primitive period of these functions modulo m. Finally, we study some properties, such as giving some special results and examples.

Cette recherche a pour objectif principal l’´etude des suites r´ecurrentes lin´eaires de Gauss d’ordre 2 et 3, ainsi que les polynˆomes de Fibonacci et les polynˆomes de Fibonacci bivari´es. Notre travail est structur´e en trois parties principales comme suit: Dans la premi`ere partie, nous ´etablissons de nouvelles propri´et´es et identit´es combinatoires pour les polynˆomes bivari´es de Fibonacci et de Lucas, en nous appuyant sur diff´erentes techniques, telles que les fonctions g´en´eratrices exponentielles. Dans la deuxi`eme partie, nous utilisons les fonctions sym´etriques et l’op´erateur de sym´etrisation δb2b3 δb1b2 pour d´eterminer les fonctions g´en´eratrices du produit de certains nombres de Pell gaussiens et de Pell-Padovan gaussiens avec des nombres et des polynˆomes v´erifiant une r´ecurrence d’ordre trois. La troisi`eme partie pr´esente des r´esultats sur la p´eriodicit´e des fonctions g´en´eralis´ees de Fi- bonacci. Nous d´efinissons d’abord notre fonction g´en´eralis´ee de Fibonacci. Ensuite, nous d´emontrons l’existence de la p´eriode primitive de ces fonctions modulo m. Enfin, nous ´etudions certaines pro- pri´et´es et donnons des r´esultats particuliers ainsi que des exemples.