A Class of Fractional Differential Hemivariational Inequalities with Numerical Simulation Using Artificial Neural Network

Abstract

In this master's dissertation, we investigate a class of generalized differential hemivariational inequalities of parabolic type, involving a time-fractional derivative operator in Banach spaces. The existence of a solution to the abstract inequality is established using the Rothe method, in combination with the surjectivity of multivalued pseudomonotone operators and the properties of the Clarke generalized gradient. Moreover, we employ artificial neural networks (ANNs) to approximate the solutions of several illustrative examples of the original problem, demonstrating the effectiveness of deep learning-based numerical methods in addressing such types of problems.

Dans ce mémoire, nous étudions une classe d'inéquations hémivariationnelles différentielles généralisées de type parabolique, impliquant un opérateur de dérivation fractionnaire en temps dans des espaces de Banach. Nous utilisons la méthode de Rothe, combinée à la surjectivité des opérateurs multivalués pseudo-monotones ainsi qu'aux propriétés du gradient généralisé de Clarke, pour établir l'existence d'une solution à l'inéquation abstraite. De plus, nous avons utilisé les réseaux de neurones artificiels (ANN) pour approximer les solutions de plusieurs exemples illustratifs du problème initial, mettant en évidence l'efficacité des méthodes numériques basées sur l'apprentissage profond pour traiter ce type de problème

في هذه المذكرة، ندرس صنًفا من المتراجحات الهيم-تغايرية التفاضلية المعّممة من النمط شبه الزمني، والتي تتضمن مؤثر المشتقة الكسرية بالنسبة للزمن ضمن فضاءات باناخ. نعتمد في تحليلنا على طريقة روث، باالقتران مع خاصية الشمولية للمؤثرات متعددة القيم شبيهة التزايد، إضافةً الرك، وذلك إلثبات وجود حل إلى خصائص المشتقة المعممة لك للمتراجحة التجريدية. كما استخدمنا الشبكات العصبية االصطناعية لتقريب حلول عدد من األمثلة التوضيحية للمشكلة األصلية، مما يُبرز فعالية الطرق العددية المعتمدة على التعلم العميق في التعامل مع هذا النوع من المسائل