Numerical Identification of Boundary Coefficients in a Parabolic System

Abstract

This work presents a method for simultaneously reconstructing two boundary coefficients in an inverse problem. To address the inherent instability, we apply Tikhonov regularization to ensure reliable solutions and prove the existence of solutions. The nonlinear optimization is solved using the Levenberg-Marquardt method, which converts the problem to a convex form, while surrogate functionals provide explicit solutions at each iteration. Numerical experiments demonstrate the approach's computational efficiency and effectiveness even with noisy data.

Ce travail présente une méthode pour la reconstruction simultanée de deux coefficients aux limites dans un problème inverse. Pour remédier à l'instabilité inhérente, nous appliquons une régularisation de Tikhonov afin d'obtenir des solutions fiables et démontrons l'existence de solutions. L'optimisation non linéaire est résolue à l'aide de la méthode de Levenberg-Marquardt, qui transforme le problème en une forme convexe, tandis que des fonctionnelles substitutives fournissent des solutions explicites à chaque itération. Les tests numériques démontrent l'efficacité computationnelle de cette approche et sa robustesse même avec des données bruitées.

يقدم هذا العمل منهجية لإعادة بناء معاملين حدوديين بشكل متزامن في مسألة عكسية. لمعالجة عدم الاستقرار الجوهري في المسألة، نطبق Tikhonov regularization لضمان حلول موثوقة وإثبات وجود هذه الحلول. يتم حل مشكلة التحسين غير الخطية باستخدام طريقة Levenberg-Marquardt التي تحول المسألة إلى صيغة محدبة، بينما توفر surrogate functionals حلولاً صريحة في كل تكرار. تظهر التجارب العددية كفاءة المنهجية الحسابية وفعاليتها حتى في وجود بيانات مشوشة.