Étude Asymptotique De La Fonction De Régression Par La Méthode Locale Linéaire

Abstract

L’objectif principal de ce mémoire est d’étudier l’estimation locale linéaire de l’opérateur de régression lorsque la variable réponse est réelle et que la variable explicative est unidimensionnelle ou appartient à un espace de dimension infinie. Nous considérons, dans un premier temps, le cas où la variable réponse est réelle et la variable explicative est unidimensionnelle. Dans ce cadre, nous établissons les expressions du biais et de la variance conditionnelle d’un estimateur local linéaire, dans le cadre de l’erreur quadratique moyenne et de l’erreur quadratique moyenne intégrée.Ensuite, nous abordons le cas où la variable explicative est fonctionnelle. Nous y démontrons la convergence en moyenne quadratique d’un estimateur local linéaire, inspiré de celui proposé par Barrientos et al. (2010). Nous présentons, à la fin de ce manuscrit, une étude applicative basée sur des données simulées, illustrant les performances de l’estimateur local linéaire dans le cas unidimensionnel

The main objective of this thesis is to study the local linear estimation of the regression operator when the response variable is real-valued and the explanatory variable is either one-dimensional or belongs to an infinite-dimensional space. We first consider the case where the response variable is real and the explanatory variable is one-dimensional. In this context, we derive the expressions of the bias and the conditional variance of a local linear estimator, within the framework of the mean squared error and the integrated mean squared error. Next, we address the case where the explanatory variable is functional. In this setting, we demonstrate the mean squared convergence of a local linear estimator inspired by the one proposed by Barrientos et al. (2010). At the end of this manuscript, we present an applied study based on simulated data, illustrating the performance of the local linear estimator in the onedimensional case

الهدف الرئيسي من هذه المذكرة هو دراسة التقدير المحلي الخطي لمُشغّل الانحدار عندما تكون المتغيّرة المستجيبة عددية حقيقية، والمتغيّرة التفسيرية إما أُحادية البُعد أو تنتمي إلى فضاء لانهائي الأبعاد. نبدأ أولاً بدراسة الحالة التي تكون فيها المتغيّرة التفسيرية أُحادية البُعد والمتغيّرة المستجيبة حقيقية. في هذا الإطار، نقوم بإيجاد تعبيرات التحيّز والتباين الشرطي للمُقدِّر المحلي الخطي، وذلك في سياق الخطأ التربيعي الوسيط والخطأ التربيعي الوسيط المُدمج. ثم ننتقل إلى الحالة التي تكون فيها المتغيّرة التفسيرية دالة (وظيفية)، حيث نُبيِّن في هذا السياق تقارب المقدّر المحلي الخطي في المتوسّط التربيعي، وذلك بالاعتماد على المُقدِّر المقترح. وفي نهاية هذا العمل، نعرض دراسة تطبيقية تعتمد على بيانات مُحاكاة، لتوضيح أداء المُقدِّر المحلي الخطي في الحالة أحادية البعد.