On the study of control problems governed by the Marguerre-von Kármán equations

Abstract

This thesis investigates optimal control problems governed by the stationary Marguerre–von Kármán equations, which model the nonlinear deformation of shallow elastic shells under external loads. The work establishes the existence and uniqueness of optimal controls, derives first-order necessary optimality conditions, and develops a conforming finite element framework for the numerical approximation of the resulting systems. Analytical results generalize those obtained for von Kármán plates to curved geometries, accounting for the effects of initial curvature and geometric nonlinearity. The convergence and stability of Newton’s iterative method are rigorously analyzed. The proposed approach provides a robust mathematical and computational foundation for the optimal design and control of thin-shell structures in aerospace and mechanical engineering applications.

تهدف هذه الأطروحة إلى يتناول هذا العمل دراسة مسائل التحكم الأمثل التي تحكمها معادلات مارغير--فون كارمان الساكنة، والتي تصف التشوه غير الخطي للأغشية المرنة الضحلة تحت تأثيرالقوى الخارجية. تم في هذا البحث إثبات وجود ووحدانية حلول التحكم الأمثل، كما تم اشتقاق شروط الضرورة من الرتبة الأولى للضبط الأمثل، وتطوير إطار عددي متوافق يعتمد على طر يقة العناصر المنتهية لحل هذه الأنظمة. توسع النتائج التحليلية المعروضة نطاق تطبيق نظر ية فون كارمان التقليدية لتشمل الأشكال المنحنية، مع الأخذ في الاعتبار تأثير الانحناء الابتدائي واللاخطية الهندسية. كما تمت دراسة تقارب واستقرار طر يقة نيوتن بشكل دقيق. يوفر هذا العمل أساسًا ر ياضيًا وعدديًا متينًا لتصميم وتحكم مثالي في الهياكل الرقيقة المستخدمة في مجالات الهندسة الميكانيكية وهندسة الفضاء.

Cette thèse traite des problèmes de controˆle optimal régis par les équations stationnaires de Marguerre–von Kármán, qui décrivent la déformation non linéaire des coques élastiques peu profondes soumises à des charges extérieures. Le travail démontre l’existence et l’unicité des controˆles optimaux, établit les conditions d’optimalité du premier ordre et propose un cadre numérique conforme basé sur la méthode des éléments finis. Les résultats analytiques étendent ceux obtenus pour les plaques de von Kármán aux géométries courbes, en tenant compte des effets de la courbure initiale et des non-linéarités géométriques. L’étude prouve la convergence et la stabilité de la méthode de Newton appliquée au système discret. Cette approche offre une base théorique et numérique solide pour la conception et le controˆle optimaux des structures minces dans les domaines de l’aéronautique et du génie mécanique