Inverse Identification of Space-Dependent Fractional Order in Subdiffusion Equations

Abstract

In this work, we study the inverse problem of identifying a space-dependent fractional order in a subdiffusion equation from observational data. The well-posedness of the forward problem is established, and the inverse problem is formulated using Tikhonov regularization. A finite element method combined with convolution quadrature is developed for the numerical approximation of the forward model, while a Physics-Informed Neural Network (PINN) approach is employed for the reconstruction of the unknown fractional order. Numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed methods in one- and two-dimensional settings.

Résumé Dans ce travail, nous étudions le problème inverse consistant à identifier un ordre fractionnaire dépendant de l'espace dans une équation de sous-diffusion à partir de données d'observation. Le caractère bien posé du problème direct est établi, et le problème inverse est formulé à l'aide de la régularisation de Tikhonov. Une méthode des éléments finis combinée à une quadrature de convolution est développée pour l'approximation numérique du modèle direct, tandis qu'une approche basée sur les réseaux de neurones informés par la physique (PINNs) est utilisée pour la reconstruction de l'ordre fractionnaire inconnu. Les résultats numériques démontrent l'efficacité des méthodes proposées dans des cas unidimensionnels et bidimensionnels

في هذا العمل، ندرس المسألة العكسية المتمثلة في تحديد رتبة كسرية معتمدة على المكان في معادلة الانتشار الشاذ البطيء (Subdiffusion) انطلاقاً من بيانات الرصد. تم إثبات حسن الوضع للمسألة المباشرة، كما تمت صياغة المسألة العكسية باستخدام تنظيم تيخونوف (Tikhonov Regularization). وقد تم تطوير طريقة العناصر المحددة (Finite Element Method) مقترنة بتربيع الالتفاف (Convolution Quadrature) من أجل التقريب العددي للنموذج المباشر، في حين استُخدمت مقاربة الشبكات العصبية المستنيرة بالفيزياء (Physics-Informed Neural Networks – PINNs) لإعادة بناء الرتبة الكسرية المجهولة. وتُظهر النتائج العددية فعالية الطرق المقترحة في الحالتين أحادية البعد وثنائية البعد.