Application of Coincidence Degree Theory and Fixed Point Methods to Nonlinear Fractional Boundary Value Problems

Abstract

This master dissertation investigates the existence of solutions for nonlinear fractional boundary value problems. We employ two powerful and complementary approaches: the Mawhin coincidence degree theory and classical fixed point theorems. In the first part, we reformulate the problem as an operator equation Lx = Nx in suitable function spaces. By verifying the conditions of the coincidence degree theory, we establish an existence result. In the second part, we apply Schauder's and Banach's fixed point theorems to prove existence and uniqueness under different sets of assumptions. Finally, we provide illustrative examples to demonstrate the applicability of our theoretical findings.

Ce mémoire de master étudie l'existence de solutions pour des problèmes aux limites non linéaires impliquant des équations différentielles fractionnaires. Nous utilisons deux approches puissantes et complémentaires : la théorie du degré de coïncidence de Mawhin et les théorèmes classiques du point fixe. Dans la première partie, nous reformulons le problème comme une équation d'opérateur Lx = Nx dans des espaces fonctionnels appropriés. En vérifiant les conditions de la théorie du degré de coïncidence, nous établissons un résultat d'existence. Dans la deuxième partie, nous appliquons les théorèmes de point fixe de Schauder et de Banach pour prouver l'existence et l'unicité sous différents ensembles d'hypothèses. Enfin, nous fournissons des exemples illustratifs pour démontrer l'applicabilité de nos résultats théoriques.

هذه مذكرة ماستر تبحث في وجود حلول لمسائل حدودية كسرية غير خطية. نعتمد نهجين قويين ومتكاملين: نظرية درجة التطابق لموهون، ونظريات النقطة الثابتة التقليدية. في الجزء الأول، نُعيد صياغة المسألة كمعادلة مؤثرية Lx = Nx في فضاءات دالية مناسبة. ومن خلال التحقق من شروط نظرية درجة التطابق، نُثبت وجود نتيجة. في الجزء الثاني، نطبق نظريتي شاوذر وباناخ للنقطة الثابتة لإثبات الوجود والوحدة تحت مجموعات مختلفة من الفرضيات. وأخيراً، نقدم أمثلة توضيحية لتطبيق النتائج النظرية.