Physics-Informed Neural Network Approach to the Schr¨odinger Equation with Dunkl Derivative

Abstract

This thesis investigates the application of the Dunkl derivative within the framework of one-dimensional non-relativistic quantum mechanics. First, the theoretical background of the Dunkl derivative is introduced, based on the works of Wigner and Yang, highlighting its connection with modified commutation relations and underlying algebraic structures. Its main mathematical properties are also presented, including the Leibniz rule, the Dunkl kernel, and the Dunkl transform, along with a discussion of probability conservation in this context. On the applied side, the Dunkl-modified Schr¨odinger equation is solved for several onedimensional quantum systems, namely the free particle, the infinite potential well, and the harmonic oscillator. The corresponding eigenvalues and eigenfunctions are derived, and the influence of the Dunkl parameter on the energy spectrum is analyzed. The standard quantum mechanical results are recovered as a limiting case when the Dunkl parameter vanishes. Furthermore, a significant part of this work is devoted to the application of PhysicsInformed Neural Networks (PINNs) as a modern numerical approach for solving the DunklSchr¨odinger equation. This method is implemented for both the infinite potential well and the harmonic oscillator, where a neural network model is constructed to approximate the eigenvalues and eigenfunctions. The obtained results show good agreement with analytical solutions, demonstrating the effectiveness and flexibility of this approach in dealing with modified quantum systems. This study highlights the importance of combining analytical methods with modern numerical techniques and opens promising perspectives for the use of artificial intelligence in the study of quantum systems with non-standard symmetries.

Ce m´emoire porte sur l’´etude de l’application de la d´eriv´ee de Dunkl dans le cadre de la m´ecanique quantique non relativiste `a une dimension. Dans un premier temps, le cadre th´eorique de la d´eriv´ee de Dunkl est pr´esent´e `a partir des travaux de Wigner et Yang, en mettant en ´evidence son lien avec les relations de commutation modifi´ees et les structures alg´ebriques associ´ees. Ses principales propri´et´es math´ematiques sont ´egalement expos´ees, notamment la r`egle de Leibniz, le noyau de Dunkl et la transform´ee de Dunkl, ainsi qu’une discussion sur la conservation de la probabilit´e dans ce contexte. Dans la partie applicative, l’´equation de Schr¨odinger modifi´ee par la d´eriv´ee de Dunkl est r´esolue pour plusieurs syst`emes quantiques unidimensionnels, `a savoir la particule libre, le puits de potentiel infini et l’oscillateur harmonique. Les valeurs propres et fonctions propres correspondantes sont d´etermin´ees, et l’influence du param`etre de Dunkl sur le spectre ´energ´etique est analys´ee. Les r´esultats standards de la m´ecanique quantique sont retrouv´es comme cas limite lorsque ce param`etre s’annule. Par ailleurs, une partie importante de ce travail est consacr´ee `a l’utilisation des r´eseaux de neurones inform´es par la physique (Physics-Informed Neural Networks – PINNs) comme m´ethode num´erique moderne pour r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger-Dunkl. Cette approche est appliqu´ee au puits de potentiel infini et `a l’oscillateur harmonique, en construisant un mod`ele neuronal capable d’approximer les valeurs propres et les fonctions propres. Les r´esultats obtenus montrent un bon accord avec les solutions analytiques, confirmant l’efficacit´e de cette m´ethode pour l’´etude des syst`emes quantiques modifi´es. Cette ´etude met en ´evidence l’int´erˆet de combiner les approches analytiques et num´eriques modernes, et ouvre des perspectives prometteuses pour l’utilisation de l’intelligence artificielle dans l’analyse des syst`emes quantiques `a sym´etries non conventionnelles