On the existence and uniqueness of solutions to BSDEs under weak monotonicity and general growth conditions

Abstract

In this work, westudy the existence and uniqueness of solutions for backward stochastic differential equations under relaxed assumptions on the generator. We specifically focus on the case where the generator satisfies a weak monotonicity and a general growth conditions with respect to the variable 𝑌, while remaining Lipschitz continuous in 𝑍. By employing a priori estimates, approximation techniques and Bihari's inequality, we demonstrate that these equations admit a unique solution under these weakened hypotheses. These results provide a significant generalization of classical frameworks based on standard Lipschitz or monotonicity conditions, allowing for the treatment of a broader class of equations

Dans ce mémoire, nous étudions l'existence et l'unicité des solutions pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades sous des hypothèses affaiblies sur le générateur. Nous nous concentrons principalement sur le cas où le générateur satisfait une condition de monotonicité faible et une croissance générale par rapport à la variable 𝑌, tout en étant Lipschitzien par rapport à 𝑍. En nous appuyant sur des estimations a priori, des techniques d'approximation et l'inégalité de Bihari, nous démontrons que ces équations admettent une solution unique sous ces hypothèses relaxées. Ces résultats constituent une généralisation importante des cadres classiques basés sur les conditions de Lipschitz ou de monotonicité standard, permettant ainsi de traiter une classe plus large d'équations

في هذه المذكرة، قمنا بدراسة وجود ووحدانية الحلول للمعادالت التفاضلية العشوائية التراجعية في إطار شروط مخففة على المولد. ركزنا بشكل أساسي على الحالة التي يحقق فيها المولد شرط "الرتابة الضعيفة" ونمواً عاماً بالنسبة للمتغيرy ، مع كونه يحقق شرط ليبشيتز بالنسبة للمتغيرz. من خالل االعتماد على التقديرات القبلية وتقنيات التقريب، وباستخدام متباينة بيهاري، أثبتنا أن هذه المعادالت تمتلك حالً وحيداً تحت هذه االفتراضات. وتعد هذه النتائج تعميماً هاماً للنتائج الكالسيكية التي تعتمد على شروط ليبشيتز أو الرتابة القياسية، مما يسمح بمعالجة فئة أوسع من المعادالت .