ExistenceandAsymptoticBehaviourofSolutions to a Viscoelastic Marine Riser System

Abstract

This work is devoted to the study of the stabilization of a flexible marine riser coupled with vessel dynamics.More precisely, we establish an exponential decay result for the total energy of the considered system.The stabilization is achieved through the application of an appropriate boundary control acting at the upper endof the riser, with the objective of reducing and attenuating the vibrations efficiently over time. The mathematical analysis is based on the multiplier method combined with suitable energy estimates and Lyapunov functionals.The marine riser is modeledby a viscoelastic beam equation incorporating memory effects through a relaxation kernel of standard type with a slight perturbation. Under appropriate assumptions on the relaxation function and system param-eters, we prove the well-posedness of the problem and derive sufficient conditions ensuringtheexponentialstabilityofthesystem.Theobtainedresultsshowthat thecombinedeffectoftheviscoelasticdampingandtheboundaryfeedbackcon-trol guarantees a rapid dissipation of the energy associated with the marine riser dynamics.

يهدف هذا البحث إلى دراسة الاستقرار الأسي لأنبوب الرفع البحري المرن المقترن بديناميكيات السفينة. وبشكل أكثرتحديدًا،نبرهن على أن الطاقة الكلية للنظام تتناقص تناقصًا أسيًا مع مرور الزمن .ويتحقق هذا الاستقرار من خلال تطبيق نظام تحكم حدي مناسب عند الطرف العلوي الأنبوب الرفع بهدف الحد من الاهتزازات و تخميدها بكفاءة، مما يسهم في تحسين الأداء الديناميكي للنظام. يعتمد التحليل الرياضي على طريقة المضاعفات، مدعومة بتقديرات مناسبة للطاقة وبناء دوال ليابونوف، في حين ينمذج أنبوب الرفع البحري بواسطة معادلة عتبة لزجة-مرنة تأخذ في الاعتبار تأثيرات الذاكرة من خلال نواة استرخاء من النوع القياسي مع اضطراب طفيف. و بالاعتماد على فرضيات مناسبة تتعلق بدالة الاسترخاء ومعلمات النظام، نثبت حسن الوضع الرياضي للمسألة، ونستخلص شروطا كافية لضمان الاستقرارالأسي للنظام. و تبين النتائج المتوصل إليها أن التأثير المشترك للتخميد اللزج-المرن و التحكم الارتجاعي الحدي يؤدي إلى تبديد سريع للطاقة المرتبطة بديناميكيات أنبوب الرفع البحري مما يؤكد فعالية استراتيجية الاستقرار المقترحة.