Mathematical Modeling and Approximation of PDEs Problems Using PINNs

Abstract

This work aims to study and approximate the solutions of partial differential equations PDEs using artificial neural networks ANNs, based on the universal approximation theory, which guarantees their ability to accurately approximate solutions. In this context, particular attention is given to Physics-Informed Neural Networks PINNs as a modern and efficient approach, and their application to the study and simulation of a one-dimensional porous elasticity system. The numerical simulations of these problems were carried out using the DeepXDE library, and the obtained results demonstrated the high accuracy and efficiency of this technique in solving PDEs, providing a precise and reliable representation of the studied Porous-Elastic System

Ce travail vise à étudier et à approcher les solutions des équations aux dérivées partielles EDP en utilisant les réseaux de neurones artificiels ANNs, en s'appuyant sur la théorie de l'approximation universelle qui garantit leur capacité à approximer les solutions avec précision. Dans ce contexte, une attention particulière est portée aux réseaux de neurones informés par la physique PINNs en tant qu'approche moderne et efficace, ainsi qu'à leur application dans l'étude et la simulation d'un système de poroélasticité unidimensionnel. Les simulations numériques de ces problèmes ont été réalisées à l'aide de la bibliothèque DeepXDE, et les résultats obtenus ont montré la grande précision et l'efficacité de cette technique dans la résolution des EDP, permettant ainsi de fournir une représentation précise et fiable du système poreux-élastique étudié

: يهدف هذا العمل إلى دراسة وتقريب حلول المعادلات التفاضلية الجزئية PDEs بالاعتماد على الشبكات العصبية الاصطناعية ANN، مستندين إلى نظرية التقريب الشامل التي تضمن قدرتها على محاكاة الحلول بدقة. وفي هذا السياق، تم التركيز على تقنية الشبكات العصبية المستندة إلى الفيزياء PINNs كأداة حديثة وفعالة، وتطبيقها في دراسة ومحاكاة نظام المرونة المسامي أحادي الأبعاد. تمت المحاكاة العددية لهذه المسائل باستخدام مكتبة DeepXDE، حيث أظهرت النتائج دقة وفعالية عالية لهذه التقنية في معالجة الـ PDEs، مما مكّن من تقديم تمثيل دقيق وموثوق لنظام المرونة المسامي المدروس