The Dynamics of Entanglement and Steerability in the Double Jaynes–Cummings Model under Noiseless and Noisy Environments

Abstract

In this thesis, we investigated two of the most important topics in quantum information science, namely entanglement and quantum steerability, within one of the most widely studied and active platforms in atomic physics: the Jaynes–Cummings model, which describes the dynamics of atom–photon interactions. In particular, we studied the dynamics of entanglement and steerability in the double Jaynes–Cummings model, both in the absence of environmental effects and in the presence of decoherence, where the environment was treated as a reservoir coupled to the system. The first two chapters of this thesis were devoted to the fundamental concepts on which our study is based. In the first chapter, we discussed atom–photon interactions through the cavity QED model known as the Jaynes–Cummings model. We began by introducing the concept of Rabi oscillations, which represent the central feature of the atom–cavity field dynamics. As an intuitive classical analogy, we considered a two-state spin- system interacting with a magnetic field in order to understand the physical meaning of Rabi oscillations. We then introduced the quantum electrodynamics Hamiltonian, namely the Jaynes–Cummings Hamiltonian, which describes the interaction between the atom and the quantized electromagnetic field. The Hamiltonian was solved by deriving its eigenvalues and eigenstates, known as dressed states, followed by a discussion of the dynamics of the Jaynes–Cummings states. Finally, we studied the phenomenon of vacuum Rabi oscillations, corresponding to the interac tion between an atom and an initially empty cavity. In the second chapter, we introduced the concepts of entanglement and quantum steering by discussing the EPR paradox and the limitations of local hidden-variable theories through Bell’s inequality, together with Schrödinger’s response to the EPR argument. We then moved to the characterization and quantification of entanglement and steerability. In particular, we discussed the CJWR inequality as a criterion for quantum steering, as well as entropy and concurrence as measures of entanglement, especially for pure states and mixed states such as X-states. The main objectives of our study were presented in Chapters Three and Four. In Chapter Three, we investigated the time evolution of entanglement and steerability without considering environmental effects, whereas in Chapter Four the influence of a dephasing reservoir was taken into account. We first discussed how to generate two entangled Jaynes–Cummings atoms and, conversely, how to generate two entangled Jaynes– Cummings cavity modes. We then presented the detailed calculations describing a system of two entangled Jaynes–Cummings atoms, each interacting with its own vacuum cavity. By performing the partial trace over the photonic degrees of freedom, we obtained the reduced density matrix of the two atoms, which enabled us to quantify both entanglement and steerability. Based on the works of J.-H. Eberly, Ya-Xi Ban, and our own analysis, we presented and discussed several important results, including the phenomena of sudden death of entanglement and steerability, the periodic death–revival behavior, the comparison between different types of Bell states, and the differences between concurrence and steerability measurements. In the final chapter, we briefly introduced the Lindblad formalism and the master equation by discussing the Kraus representation, the assumptions made about the environment, and the role of the jump operators. We then solved the master equation for a single Jaynes–Cummings model under a phase-damping reservoir. After analyzing the time evolution of the single Jaynes–Cummings system in the presence of dephasing, we considered a system of two initially entangled atoms, as in the noiseless case, with each atom independently subjected to phase damping. We presented the detailed calculations describing the evolution of the system and evaluated both the concurrence and the steerability measures. The obtained results revealed important differences between entanglement and steerability quantification under decoherence, as well as their distinct responses for the two types of Bell states.

This work opens the door to further investigations of entanglement and quantum steering within the Jaynes–Cummings model, particularly concerning the comparison between concurrence and steerability under decoherence. Such a comparison is important for improving our understanding of the quantification of quantum correlations and may contribute to the development of more accurate methods for quantum computation and quantum information processing

قمنا في هذه الاطروحة بدراسة أهم مفهومين في مجال ميكانيك الكم عامة وفي مجال الحوسبة الكمومية خاصة وهما التشابك الكمومي وقابلية التوجيه، وذلك في نظام يعتبر من بين أكثر الأنظمة دراسة في فيزياء الذرة وهو نموذج Jaynes—Cummings الذي يدرس ديناميكا التفاعل بين الذرة والفوتون داخل تجويف كهروديناميكي كمومي. ركزت الدراسة في ديناميكا التطور لكل من التشابك وقابلية التوجيه لذرتين متشابكتين كل منهما في تجويف فارغ وذلك بتجاهل ضوضاء الوسط الخارجي تارة، وأخذه بعين الاعتبار تارة أخرى. تناولنا في كل من الفصلين الأول والثاني مراجعة أهم المفاهيم الأساسية التي قمنا بتطبيقها في الدراسة الفعلية والتي تمحورت في الفصلين الثالث والرابع، ففي الفصل الأول تم تعريف مفهوم ظاهرة اهتزاز رابي الذي يمثل نقطة الارتكاز في ديناميكا التفاعل بين الذرة والفوتون وذلك بأخذ نظام المستويين للنصف اللف الذاتي (Tow-State Spin ½ System) كمثال كلاسيكي يفسر هذه ظاهر. شرعنا بعد ذلك باستخلاص الهاميلتونيان التفاعل بين الذرة والفوتون الذي يعرف بـ J-C Hamiltonian وقدمنا بذلك حلول لهذا الهميلتونيان بحساب القيم الذاتية والحالات الذاتية التي تعرف بالحالات المغطاة (Dressed State)، وتابعنا بذلك دراسة كيفية تطور حالات النظام خلال الزمن والتي سمحت لنا بدراسة اهتزاز رابي في الفارغ الذي يفسر ظاهرة الانبعاث التلقائي والتي توافق وجود الذرة في حالة مثارة داخل تجويف في حالة فراغ. أما الفصل الثاني فتمركز على إعطاء مفهوم للتشابك والتوجيه الكمومي وذلك بمناقشة EPR Paradox وقيود نظريات القيم المخفية المحلية من خلال متراجحة Bell مشيرين بذلك الى ردود العالم Schrödinger حول حجج اينشتاين، انتقلنا بعد ذلك الى الوصف الرياضي لكل من التشابك والتوجيه الكمومي من خلال مناقشة متراجحة CJWR كمعيار قياس للقابلية التوجيه وكذا الانتروبي والترافقية (concurrence) كمعايير قياس للتشابك الكمومي، مركزين بذلك لحالة الأكثر انتشار في نظام JC والمعروفة بالحالة المختلطة X. في الفصل الثالث بدأنا بدراسة كيفية توليد تشابك بين ذرتين وبين فوتونين في التجويف الكهروديناميكي معتمدين بذلك على أعمال Serge Haroche و Jean-Michel Raimond ، ثم بدأنا بعد ذلك بدراسة تطور الزمني لذرتين متشابكتين مبدئيا كل منهما في تجويف كهروديناميكي كمومي فارغ بحيث أن التجويفين منعزلين تماما، بعد حسابات دقيقة توصلنا الى مصفوفة الكثافة التي تصف حالة الذرتين في أي لحظة زمنية t من خلال طريقة التتبع الجزئي (Partial Trace) التي تسمح بالتخلص من درجات الحرية للفوتونات، سمحت لنا مصفوفة الكثافة للذرتين بقياس كل من التشابك وقابلية التوجيه من خلال حساب الترافقية المتعلقة بالتشابك والانتهاك الاعظمي لمتراجحة CJWR لقابلية التوجيه، وبالاعتماد على أعمال J-H Eberly وXi-Ya Ben وعلى تحليلاتنا المحتملة تمكنا من تقديم العديد من النتائج المهمة والتي تشمل ظاهرة الموت المفاجئ للتشابك (ESD)، السلوك الدوري للموت والانبعاث، المقارنة بين نتائج حالتي Bell والاختلافات في معايير القياس بين الترافقية وقياس قابلية التوجيه. قدمنا في الفصل الأخير، بشكل مختصر صيغ Lindblad ومعادلات ماستر البصرية من خلال مناقشة مؤثرات Kreaus، إضافة الى الشروط الموضوعة على ضوضاء الوسط الخارجي والتي تشمل تقريب Born وتقريب Marckove وبذلك انتقلنا الى حل معادلات الماستر البصرية لنظام Jaynes—Cummings بافتراض أن ضوضاء الوسط الخارجي عبارة عن طور مخمد يؤثر على الذرة وذلك بتوليد تخامد طوري بين الحالة المثارة والحالة الأرضية للذرة. وبعد معرفة كيفية تطور النظام في وجود هذا النوع من الضوضاء، اعتبرنا نظام ذرتين متشابكتين مبدئيا تتعرض كليهما لضوضاء الطور المخمد كل منهما في تجويف كهروديناميكي في حالة فراغ كما في الحالة الأولى، قدمنا حسابات دقيقة حول كيفية تطور هذا النظام عبر الزمن ومن خلال طريقة التتبع الجزئي تحصلنا على مصفوفة الكثافة التي تصف حالة الذرتين التي سمحت لنا بحساب الترافقية وقياس قابلية التوجيه، النتائج المتحصل عليها كشفت اختلافات مهمة بين التشابك والتوجيه الكمومي وكذا التصرف المتميز لكل منهما لحالات Bell. يفتح هذا العمل مواضيع بحث معمقة حول دراسة التشابك والتوجيه الكمومي لنظام Jaynes—Cummings خاصة بمناقشة قيود متراجحة CJWR مقارنة بصيغ الترافقية تحت وجود الضوضاء، هذه المقارنة ستكون جد مهمة في فهمنا للتحديد الكمي للترابطات الكمومية والتي قد تساهم في تطوير طرق أكثر دقة للمعالجة الحوسبة الكمومية