Formalism of the Dunkl Derivative in Relativistic and Non-Relativistic Quantum Systems: Bound States and Scattering

Abstract

This dissertation is devoted to the generalization of quantum mechanics through the introduction of the Dunkl derivative, a mathematical extension that incorporates reflection symmetry and leads to a modification of the fundamental algebraic structure of quantum systems, particularly the commutation relation between position and momentum. In this context, the theoretical frameworks of Wigner and Yang are first revisited, highlighting the possibility of re-examining the conventional foundations of quantum mechanics. Subsequently, the mathematical formalism of the Dunkl derivative is developed, and its main properties are analyzed, especially its impact on the functional space, which naturally decomposes into even and odd subspaces. The proposed framework is then applied to several important physical systems, both in the non-relativistic and relativistic regimes, through the study of bound states and scattering phenomena in models such as the harmonic oscillator, potential step, potential barrier, and Pöschl–Teller potential. The results reveal that the inclusion of the Dunkl derivative induces significant modifications in the energy spectrum, wave functions, and transmission coefficients, while preserving the exact solvability of the studied systems. Finally, it is shown that standard quantum mechanics is recovered as a limiting case when the deformation parameter vanishes, thereby confirming the consistency and relevance of this generalized approach.

Ce mémoire s’inscrit dans le cadre de la généralisation de la mécanique quantique à travers l’introduction de la dérivée de Dunkl, qui constitue une extension mathématique prenant en compte la symétrie de réflexion et conduisant à une modification de la structure algébrique fondamentale des systèmes quantiques, notamment la relation de commutation entre la position et la quantité de mouvement. Dans ce contexte, les approches théoriques de Wigner et de Yang sont d’abord revisitées, mettant en évidence la possibilité de reconsidérer les fondements classiques de la mécanique quantique. Par la suite, le formalisme mathématique de la dérivée de Dunkl est développé et ses principales propriétés sont analysées, en particulier son effet sur l’espace des fonctions, qui se décompose naturellement en sous-espaces pairs et impairs. Ce cadre est ensuite appliqué à plusieurs systèmes physiques importants, tant dans le régime non relativiste que relativiste, à travers l’étude des états liés et des phénomènes de diffusion dans différents modèles tels que l’oscillateur harmonique, la marche de potentiel, la barrière de potentiel et le potentiel de Pöschl–Teller. Les résultats obtenus montrent que l’introduction de la dérivée de Dunkl entraîne des modifications significatives du spectre énergétique, des fonctions d’onde et des coefficients de transmission, tout en préservant la résolubilité analytique des systèmes étudiés. Enfin, il est démontré que la mécanique quantique usuelle est retrouvée comme cas limite lorsque le paramètre de déformation tend vers zéro, ce qui confirme la cohérence et l’intérêt de cette approche généralisée