Etude de Quelques Equations d’évolution qui Surviennent Comme des Equations des Géodésiques sur Les Groupes des Difféomorphismes

Abstract

Dans ce mémoire, nous traitons les équations aux dérivées partielles de Hopf et de "Korteweg-de Vries" (KdV equation), sur le cercle et sur la droite. Dans le premier chapitre de ce mémoire, nous étudions brièvement le calcul différentiel global sur les espaces convenables (qui sont par définition des espaces localement convexes complets au sens de Mackey) et dans le deuxième, nous présentons les propriétés de base de la théorie des groupes de Lie de dimension infinie. Nous discutons la notion d'un "groupe de Lie régulier", et l'affirmation fondamentale qui dit que "tous les groupes de Lie connus sont réguliers", ensuite nous démontrons que le groupe des difféomorphismes à décroissance rapide est régulier. Dans le troisième chapitre, nous étudions l'existence et l'unicité de solution de nos équations en utilisant l’approche géométrique d’Arnold, qui consiste à considérer l'inconnu comme la vélocité d'une géodésique sur des groupes des difféomorphismes modelés sur des espaces convenables. Nous démontrons nos résultats fondamentaux, qui concernent l'existence des géodésiques, en utilisant des variétés de Banach convenables et le théorème classique de Cauchy-Lipschitz.