Study the local, global existence and stability of solution of two hyperbolic problems

Abstract

The aim of this work is to present the reader with some very effective methods for proving the existence result for some classes of nonlinear partial differential equations. In the first chapter, we give the reader some basic definitions, theorems, lemmas, and inequalities that will be useful in the last part of the work. In the second chapter, we consider a semi-linear generalized hyperbolic boundary value problemassociated with the linear elastic equations with general damping term and nonlinearities of variable exponent type. By using the Faedo-Galerkin method we show the local existence and the global existence, then the uniqueness of the solution has been gotten by eliminating some hypotheses. Finally, the stability of the solution will be discussed. In the third chapter, we proved the local and global existence, (without the uniqueness) of generalized nonlinear problem with variable exponent, then the stability of solutions by the same steps that have been used in the second chapter. Finally, we give a numerical example by using the finite difference method to obtain the approach solution.

الهدف من هذا العمل هو تقديم للقارئ بعض الطرق الفعالة لإثبات نتائج الوجود لبعض فئات المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية. في الفصل الأول، نقدم للقارئ بعض التعريفات الأساسية والمبرهنات و النظريات والمتباينات التي سنحنتاجها في الجزء الأخير من العمل. في الفصل الثاني، ننظر في مسألة القيمة الحدودية الزائدية المعممة شبه الخطية المرتبطة بالمعادلات المرنة الخطية مع حالة عامة لعامل التخميد والغير خطيات ذات الأسس المتغيرة. باستخدام طريقة فايدو-غاليركين، نظهر الوجود المحلي والوجود للحل. ثم يتم الحصول على وحدانية الحل عن طريق تحت شروط معينة. في النهاية، سيتم مناقشة استقرار الحل في الفصل الثالث، قمنا باثبات الوجود المحلي والعام للحل (دون اثبات الوحدانية ) للمسألة اللاخطية المعممة ذات الأسس المتغيرة ، ثم اثبات استقرار الحلول باستخدام نفس الخطوات التي تم استخدامها باستخدام طريقة الفروق المنتهية حيث نحصل على الحل التقريبي للمسالة

L’objectif de ce travail est de présenter au lecteur des méthodes très efffficaces pour prouver le résultat d’existence pour certaines classes d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Dans le premier chapitre, nous donnons au lecteur quelques définitions de base, théorèmes, lemmes et inégalités qui seront utiles dans la dernière partie du travail. Dans le deuxième chapitre, nous examinons un problème de valeur limite généralisé semi linéaire associé aux équations élastiques linéaires avec un terme d’amortissement général et des non-linéarités de type exposant variable. Ainsi, en utilisant la méthode de Faedo Galerkin, nous montrons l’existence locale et l’existence globale. Ensuite, l’unicité de la solution est obtenue en éliminant certaines hypothèses. Enfin, la stabilité de la solution sera discutée. Dans le troisième chapitre, nous avons prouvé l’existence locale et globale sans l’unicité du problème non linéaire généralisé avec exposant variable, puis la stabilité des solutions en utilisant les mêmes étapes que celles utilisées dans le deuxième chapitre. Enfin, nous donnons un exemple numérique en utilisant la méthode des différences finies pour obtenir la solution approchée.