Statistique Classique et Quantique de Systèmes Fractionnaires

Abstract

Dans cette étude, notre principal objectif était d’analyser les propriétés thermodynamiques de systèmes statistiques classiques et quantiques décrits par l’hamiltonien fractionnaire Hα. Nous avons commencé par établir les bases théoriques nécessaires pour développer la théorie de la dérivation fractionnaire. Ensuite, nous avons exploré la mécanique quantique fractionnaire en exposant ses principes fondamentaux et en présentant quelques applications de l’équation de Schrödinger fractionnaire. Nous avons également étudié des problèmes statistiques classiques et quantiques dans le cadre de la mécanique quantique fractionnaire. Dans un premier temps, nous avons introduit la fonction de partition ZN pour un système de gaz composé de N oscillateurs quantiques fractionnaires indépendants dans un espace de D dimension. Ensuite, en utilisant les trois définitions des dérivées fractionnaires (Liouville, Reimann-Liouville et Caputo), nous avons calculé la fonction de partition pour chaque définition et l’avons appliquée à un oscillateur quantique en 3 Dimensions. cette application nous a permis de montrer que les trois définitions de la dérivée fractionnaire conduisent généralement à des fonctions de partition différentes, et donc à des propriétés thermodynamiques différentes. Nous nous sommes également intéressés à la résolution de l’équation de Liouville fractionnaire en utilisant les dérivées de Riemann-Liouville et de Caputo pour des systèmes présentant des lois de puissance non entieres dans leurs hamiltonienes. En nous basant sur l’équation de Liouville fractionnaire, nous avons d’abord utilisé la dérivée de R-L pour calculer la fonction de densité (FD) du gaz parfait classique. les résultats montrent que la (FD) dépend à la fois du moment p et de position q. En revanche lorsque nous utilisons la dérivée selon la définition de Caputo, nous avons constaté que la (FD) ne dépend pas de (p, q) et est donc constante. De plus, Nous avons étendu cette étude à un gaz composé de N oscillateurs fractionnaires dans un espace unidimensionnel, ou la (FD) du système est liée au type de dérivée utilisée

في هذا العمل، ركزنا على دراسة الخصائص الحرارية لبعض الأنظمة الإحصائية الكلاسيكية والكمية التي تم وصفها بواسطة المؤثر الهاملتوني الكسري Hα. في البداية، قدمنا الأدوات الأساسية لبناء نظرية المشتق الكسري. ثم لمحة عامة على ميكانيك الكم الكسري من خلال تقديم مبادئها الأساسية و بعض التطبيقات لمعادلة شرودنجر الكسرية. كما قمنا بدراسة بعض المشاكل الإحصائية الكلاسيكية والكمية ضمن إطار ميكانيك الكم الكسري. في البداية، قمنا بتقديم دالة التوزيع ZN لنظام غاز يتكون من N هزاز كسري مستقل في فضاء ذو D بعد. بعد ذلك، باستخدام ثلاثة تعريفات للمشتق الكسري (ليوفيل، ريمان-ليوفيل، وكابوتو)، قمنا بحساب دالة التوزيع لكل تعريف وتطبيقها على هزاز كمي في ثلاثة أبعاد. هذه الدراسة سمحت لنا بإثبات أن التعريفات الثلاث للمشتق الكسري عموما تؤدي إلى دوال توزيع مختلفة، وبالتالي خصائص حرارية مختلفة. علاوة على ذلك، ركزنا على حل معادلة ليوفيل الكسرية باستخدام تعريف ريمان-ليوفيل وكابوتو لأنظمة تحتوي على قوانين قوة ذات رتب كسرية في هاملتونيتها. استناداً إلى معادلة ليوفيل الكسرية، استخدمنا بداية تعريف ريمان-ليوفيل لحساب دالة الكثافة للغاز الكلاسيكي المثالي. أظهرت النتائج أن كثافة الغاز تعتمد على كل من العزم p و الموضع q . بالمقابل، عند استخدام تعريف كابوتو، وجدنا أن كثافة الغاز لا تعتمد على p، q وتظل ثابتة. بالإضافة إلى ذلك، قمنا بتوسيع هذه الدراسة إلى نظام غاز يتكون من N هزاز كمي كسري في فضاء احادي البعد، حيث ترتبط دالة الكثافة للنظام بنوع المشتق المستخدم.

In this study, our main objective was to analyze the thermodynamic properties of classical and quantum statistical systems described by the fractional Hamiltonian Hα. We started by establishing the necessary theoretical foundations to develop the theory of fractional derivation. Then, we explored fractional quantum mechanics by presenting its fundamental principles and discussing some applications of the fractional Schrodinger equation. We also studied classical and quantum statistical problems within the framework of fractional quantum mechanics. Initially, we introduced the partition function ZN for a gas system composed of N independent fractional quantum oscillators in a D-dimensional space. Using the three definitions of fractional derivatives (Liouville, Riemann-Liouville, and Caputo), we calculated the partition function for each definition and applied it to a three-dimensional quantum oscillator. This application allowed us to demonstrate that the three definitions of fractional derivative generally lead to different partition functions, and therefore different thermodynamic properties. We also focused on solving the fractional Liouville equation using the Riemann- Liouville and Caputo derivatives for systems with non-integer power laws in their Hamiltonians. Based on the fractional Liouville equation, we first used the Riemann- Liouville derivative to calculate the density function (DF) of the classical ideal gas. The results showed that the DF depends on both the momentum p and position q. On the other hand, when we used the Caputo derivative, we found that the DF does not depend on (p, q) and remains constant. Furthermore, we extended this study to a gas system composed of N fractional oscillators in a one-dimensional space, where the DF of the system is influenced by the type of derivative used