Mathematical analysis of some PDEs

Abstract

In this thesis, we study the asymptotic behavior of solutions to a class of hyperbolic equations. Firstly, we introduce some notations and we review some mathematical concepts that will be used throughout this thesis. In chapter 2, we investigate the existence and uniqueness of solution to the heat equation using two methods: Faedo-Galerkin method and the semigroup theory, based on references [3, 13]. Finally, in chapter 3, we study the asymptotic behavior of solution to the FractionalLaplace-wave equation with viscoelastic term. We use the Fourier and Laplace transforms to derive the explicit solution. For the stability, we employ the energy method, multiplier technique and the Lyapunov function, relying on [22, 33

Dans ce mémoire, nous étudions le comportement asymptotique de la solution d’une classe d’équations hyperbolique. Tout d’abord, nous introduisons quelques notations et passons en revue des concepts mathématiques qui seront utilisés tout au long de ce travail. Au chapitre 2, nous étudions l’existence et l’unicité de la solution de l’équation de la chaleur en utilisant deux méthodes : la méthode de Faedo-Galerkin et la théorie des semi-groupes, en nous basant sur [3, 13]. Au chapitre 3, nous examinons le comportement asymptotique de la solution de l’équation des ondes Laplace fractionnaire avec terme viscoélastique. Les transformations de Fourier et Laplace sont utilisées pour obtenir une expression explicite de la solution. Pour le stabilité, nous appliquons la méthode de l’énergie, la technique des multiplicateurs ainci que la fonction de Lyapunov, en nous appuyant sur les références [22, 33]

في هذه الأطروحة، نتناول دراسة السلوك التقاربي للحل لإحدى مسائل المعادلات الزائدية. بداية، نقدم بعض الرموز، التعاريف والنظريات التي سنحتاجها في باقي الأطروحة. أما في الفصل الثاني، نبرهن على وجود ووحدانية الحل لمعادلة الحرارة بطريقتين: طريقة فادو-غالركين Faedo-Galerkin ونظرية أنصاف الزمر Semigroup، واعتمدنا على المرجعين [13,3]. أخيرا، في الفصل الثالث، ندرس السلوك التقاربي لمعادلة الأمواج برتبة كسرية لمؤثر لابلاس مع وجود حد المرونة اللزجة. نستخدم تحويل فوريي ولابلاس لايجاد عبارة الحل. بالنسبة لدراسة الاستقرار نستخدم طريقة دالة الطاقة، دالة ليابونوف Lyapunov وطريقة المضروبات. نعتمد في ذلك على المرجعين [34,22].