On Some Fractional Problems with Variable Order

Abstract

Dans cette th`ese, nous ´etudions l’existence et l’unicit´e des solutions pour plusieurs types de probl`emes non lin´eaires aux limites et aux valeurs initiales, impliquant des ´equations diff´erentielles fractionnaires de Riemann-Liouville d’ordre variable. Notre ap-proche s’appuie sur des th´eor`emes de point fixe (les th´eor`emes de Krasnoselskii, Schae-fer et Schauder pour l’existence et le th´eor`eme de Banach pour l’unicit´e) afin d’´etablir rigoureusement les r´esultats. De plus, nous analysons la stabilit´e des solutions obtenues dans le cadre de la stabilit´e d’Ulam-Hyers. Pour illustrer la pertinence de nos r´esultats, nous fournissons des exemples concrets. Notre m´ethode est directe et repose sur un nouvel op´erateur fractionnaire, plus adapt´e au probl`eme consid´er´e, permettant de d´emontrer la r´esolubilit´e sous des hypoth`eses moins restrictives. Contrairement aux techniques existantes dans la litt´erature, qui s’appuient souvent sur des intervalles g´en´eralis´es et des fonctions constantes par morceaux, notre approche offre un cadre plus souple et plus intuitif

In this thesis, we investigate the existence and uniqueness of solutions for several types of nonlinear initial and boundary value problems involving Riemann-Liouville fractional differential equations of variable order. Our approach relies on fixed point theorems (Krasnoselskii’s, Schaefer’s, and Schauder’s theorems for existence and Banach’s theorem for uniqueness) to rigorously establish the results. Additionally, we analyze the stability of the obtained solutions in the context of Ulam-Hyers stability. To illustrate the applicability of our findings, we provide illustrative examples. Our methodology is straightforward and employs a novel fractional operator that is more suitable for the considered problems, enabling solvability under less restrictive as-sumptions. Unlike existing methods in the literature, which often rely on generalized intervals and piecewise constant functions, our approach offers a more direct and flexible framework

في هذه الأطروحة، ندرس وجود ووحدانية الحلول لأنواع متعددة من المسائل الابتدائية والحدية غير الخطية التي تتضمن معادلات تفاضلية كسرية من نوع ريمان-ليوفيل ذات رتب متغيرة. يعتمد نهجنا على نظريات النقطة الثابتة )نظريات كراسنوسيلسكي، وشيفر، وشودر لإثبات الوجود ونظرية باناخ لإثبات الوحدانية( لتأسيس النتائج بشكل رياضي دقيق. بالإضافة إلى ذلك، نقوم بتحليل استقرار الحلول التي تم الحصول عليها في سياق استقرار أولام- هايرز. ولتوضيح قابلية تطبيق نتائجنا، نقدم أمثلة عملية. منهجيتنا مباشرة وتستخدم مؤثرًا كسريًا جديدًا يكون أكثر ملاءمة للمسألة قيد الدراسة، مما يتيح إمكانية الحل تحت افتراضات أقل تقييدًا. على عكس الطرق الموجودة في الأدبيات، التي تعتمد غالبًا على فترات معممة ودوال ثابتة على اجزاء، فإن منهجنا يوفر