Backward doubly stochastic differential equations with locally monotone coefficients

Abstract

In this work, we study the existence and uniqueness of solutions for backward dou-bly stochastic differential equations under relaxed assumptions on the generator. We specifically focus on the case where the generator satisfies a local monotonicity condi-tion with respect to the variable Y , while remaining Lipschitz continuous in Z. The doubly stochastic nature of these equations, involving both a forward integral (with re-spect to a Brownian motion) and a backward integral (with respect to an independent backward martingale measure), introduces additional challenges compared to classi-cal BSDEs. By employing an approximation techniques, we demonstrate that these equations admit a unique solution under these local hypotheses

Dans ce mémoire, nous étudions l’existence et l’unicité des solutions pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades doublement stochastiques sous des hypothèses locales sur le générateur. Nous nous concentrons principalement sur le cas où le généra-teur satisfait une condition de monotonicité locale par rapport à la variable Y , tout en étant Lipschitzien par rapport à Z. La nature double de ces équations, comportant à la fois une intégrale forward (par rapport à un mouvement brownien) et une intégrale backward (par rapport à une mesure martingale rétrograde indépendante), introduit des défis supplémentaires par rapport aux BSDEs classiques. En nous appuyant sur des techniques d’approximation, nous démontrons que ces équations admettent une solution unique sous ces hypothèses locales

في هذه المذكرة، قمنا بدراسة مسألة وجود ووحدانية الحلول للمعادلات التفاضلية العشوائية التراجعية ثنائية الاتجاه في إطار شروط محلية على المولد. ركزنا بشكل أساسي على الحالة التي يحقق فيها المولد شرط الرتابة المحلية بالنسبة للمتغير x مع كونه يحقق شرط ليبشيتز بالنسبة للمتغير .Z إن الطبيعة ثنائية الاتجاه ، لهذه المعادلات، والتي تتضمن تكاملين (نسبة إلى حركة براونية وقياس مارتينغال معكوس)، تضيف تحدياً إضافياً مقارنةً بالمعادلات التفاضلية العشوائية التراجعية الكلاسيكية. من خلال الاعتماد على تقنيات التقريب، أثبتنا أن هذه المعادلات تمتلك حلاً وحيداً تحت هذه الافتراضات المحلية